Нелинейные операторные уравнения Вольтерра и их применение при решении обратных задач для уравнений гиперболического типа

• Автор: Азаматов, Жанарбек Серикбекович
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 96 с.

Содержание
Введение
1 Операторные уравнения Вольтерра П-го рода. Ь-і-
теория 1О
1.1 Основные определения
1.2 Существование решения операторного уравнения в малом
1.3 Корректность в окрестности точного решения
1.4 Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода. І/2-теория
2 Сходимость решения дискретного аналога опера-
торного уравнения Вольтерра Н-го рода. Пример одномерной обратной задачи гиперболического типа
2.1 Сходимость дискретного аналога уравнения Вольтерра П-го рода
2.2 Одномерная обратная задача для гиперболического уравнения
2.2.1 Решение прямой задачи
2.2.2 Решение обратной задачи
3 Обратная задача акустического каротажа
3.1 Постановка задачи

3.2 Решение прямой задачи
3.3 Решение обратной задачи
3.4 Построение градиента
4 Приложения
4.1 Решение прямой и обратной задачи для функций из \!, 1У-2
4.2 Построение градиента функционала обратной задачи
Литература

Введение
Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Обратные задачи, в которых в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило времениподоб-ной, поверхности, называются динамическими. Первые постановки динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем были сформулирорваны и исследованы М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [17, 18] А. С. Благовещенским [4], А. С. Алексеевым [1].
Большое количество имеющихся к настоящему времени работ по исследованию динамических задач можно разделить по методам на несколько основных групп: метод операторных уравнений Вольтерра, оптимизационный метод, метод Ньютона-Канторовича, динамический вариант метода Гельфанда-Левитана, метод линеаризации и метод обращения разностной схемы. В настоящей работе рассмотрен первый метод, а именно, исследованы некоторые свойства нелинейных уравнений Вольтерра в предположении, что ядро уравнения принадлежит классу вольтерровых и ограниченно липшиц-непрерывных операторов. Также рассмотрен оптимизационный метод решения обратной задачи — построены градиенты соответствующих фукционалов. Основным объектом исследования

Запишем неравенство
' /-&+1 ]Г) ехр (2т?7г) < / ехр(2mlit) dt.
j=о ' Jo
С учетом этого неравенства и (2.18) перепишем (2.15)
||(vr)j - aj\ < + Х) 1И1(лг)т (ехР(2mh(k + 1)) - 1).
Правая часть этого неравенства монотонно возрастает по к, значит мы можем записать
||VNf - а\2{к) < J2(<3, Q + 1) llfll(jv)m (ехР (2mh(k + 1)) - 1)
Умножая обе части на ехр(—2mkh), получим после несложных преобразований
Wn? - «II1И1(ЛГ)теХР (2mh) ’ (2.3.9)
Ясно, что exp (2mh) < exp (2T), тогда в силу (2.11)
-'2(Q, Q + 1) exP ('2mh) <
Следовательно,
С учетом (2.13) и (2.17) получаем
ІІг-аЦр.) < Є.
Теперь докажем, что при выполнении условий (2.11) —(2.13) оператор Уд? является на Фді(а,є,т) оператором сжатия. Пусть г(2) Є Фдг(ср£,т). Тогда
Рлг7(1) - V,[Г{2) < Ь-і,к - г(1у) - іЛч - 2))) <