О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам

• Автор: Макин, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 264 с.

С ОДЕРІАН’ИЕ

Введение
Глава I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДНЯ ОПЕРАТОРА ППДРМА-ЛИУВМЛЯ
§ I. Двухточечные краевые задачи на интервале (0,1)
§ 2. Многоточечные краевые задачи на интервале (0//])
Глава II. ИгВОРл'іАТИЗНАЯ ФОРША СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДІЯ
КОРНЕВЫХ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ШРЕДЙНГЕРА
§ 3. Вывод формулы среднего значения
§ 4. Детализация формулы среднего значения в
одномерном случае
Глаза ТТІ. СХОДИМОСТЬ СРЕДНИХ РИССА СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, ОТВЕЧАВШИХ ОПЕРАТОРУ ППУРМА-ЛИУВШІЯ
§ 5. Доказательство теорем о суммировании
методом Рисса
Глаза ТУ. СВОЙСТВА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И
ГШОЭЛЛШТНЧЕСК0Х ОПЕРАТОРОВ
§ 6. Оценки антиаприорного типа для собственных и
присоединенных функций эллиптического оператора 180 § 7. Точные оценки для собственных функций к
производных корневых функций
§ 8. Равномерные оценки присоединенных функций
оператора Шредингера
§ 9. Оценки антиаприорного типа для собственных и присоединенных функций гипозллиптичесних
операторов
Литература

ВВЕДЕНИЕ
I. Спектральная теория линейных дифференциальных операторов является интенсивно развивающейся областью современной математики, имеющей многочисленные приложения в математической физике. Применение метода Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных всегда приводит к задачам исследования спектра и разложения произвольной функции в ряд по корневым функциям дифференциального оператора.
В настоящее время наиболее разработанной является спектральная теория самосопряженных дифференциальных операторов, развитие которой было начато В.А.Стендовым. Значительно труднее поддавались исследованиям проблемы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов. Впервые крупные успехи в области несамосопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений были достигнуты Г.Виркгофом [39-90] и Я.Д.Тамаркиным СьФ]. Интересные результаты по асимптотике собственных значений краевых задач для эллиптического оператора второго порядка были получены Т.Карлеманом С841 . Огромное влияние на последующее развитие теории несамосопряженных операторов оказала фундаментальная работа М.В.Келдыша С 373 (см. также С 33 ), позволившая установить полноту системы собственных и присоединенных Функций для широких классов краевых задач.
Однако, соответствующие биортогональные ряды Фурье, вообще говоря, не обладают свойством базисности. Изучению достаточных условий сходимости спектральных разложений, отвечающих обыкновенному нееамосопряженному дифференциальному оператору

{к-г)
(0.1)
заданному на некотором интервале и , были посвящены работы многих математиков. Наибольшее внимание уделялось двухточечным краевым задачам, когда краевые условия задаются на концах интервала G ,
В.П.Михайловым г чп и Г,М.Кесельманом было установлено,
что система корневых функций оператора (0.1), рассматриваемого на интервале [0/ 4) , с усиленно регулярными краевыми условиями образует базис Рисса в пространстве U (О,'!) , В ГЗМ также приведен
пример оператора (0.1) с регулярными, но не усиленно регулярными краевыми условиями, система собственных и присоединенных функций которого не является базисом в . В работе Е?3 А.А.Шка-
ликов показал, что система корнеых функций оператора (0.1) с регулярными краевыми условиями образует базис Рисса со скобками в пространстве U (0,1) . В статье П »1 А.Г.Костюченко и A.A.Шкаликов решили задачу о суммировании методом Абеля спектральных разложений, отвечающих оператору (0.1) с постоянными коэффициентами в случае распадающихся нормированных краевых условий. Различные аспекты спектрального анализа двухточечных краевых задач с обширной библиографией изложены в монографиях Э.А.Коддингтона и Н,Левинсона [3S1, М.А.Наймарка С50І , Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца [ 93 , обзоре
Дж.Локера
В ряде работ исследовались краевые задачи на собственные значения для обыкновенных несамосспряженных дифференциальных операторов с интегральными и, в частности, многоточечными краевыми условиями. Подробный перечень литературы по данному вопросу указан в обзоре А.М.Кралла . Отметим, что в работе А.А.Шпали-
кова была установлена полнота системы собственных и присоединенных функций оператора (0.1), рассматриваемого на интервале (0,-f) , с интегральными краевыми условиями и доказано, что система корневых функций образует базис Рисса со скобками в Lt [О, А) . Сходимость разложений по корневым функциям нелокальных краевых задач исследо-

4-032- ЛСк.ё./(Х7ск-{£)~ +%) ~ () —
что в сочетании с (1.23) позволяет утверждать, что.при 2 £ 1,
£(?)- 4 Ф=£>(*'*;.
Отсюда следует, что при всех достаточно больших при 2£
14 01 >IД (г)_ А
По теореме Руше из последнего неравенства вытекает, что функции (2г) и 1, (И) имеют равное число корней внутри окружностей и , стало быть, 4.' 1 + гДе /4
Отсюда следует, что уравнение (1.22) имеет две серии корней
+ уя' ь £*/ * гДе = Ки,
Рассмотрим уравнение (1.22 ). Согласно С£0] оно имеет две
л. / / а*- Ч г— / , — У/в
серии корней + йК , рк~(1к,-1)1с + 6 , где к.
I Су О, к,-ко, кс+1г..Подставляя в (1.22') р= {/.к-1)71 +?
получаем, что функция
(2) - 4- шН + Ц/кЛс/({к-/)9с:-И)-- Сй$Ъ/[[Х.к-№+ 2)*- {[1к-к)ТС+ 2)
/ /ч»
Б Круге ццсиг™ имеет два корня ои, и . Аналогичными рассуждениями находим, что уравнение (1.22 имеет две серии корней рК=[2.к~У)(1+ , -{-к-уТС+У5 где У1 — кЬ/ кри
= (-1 +тет/Г[гл-<№), 4=(- I *
ЧС?" [ 'УУ 1/ / /р- // Г А
• Отсюда, в частности, следует, что собственные значения асимптотически простые.
Докажем, что при всех достаточно больших
с$- - / А '(рк)!
:.24)