О решении краевой задачи для параболических систем на плоскости

• Автор: Семаан Хайдар
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. О РАЗРЕШИМОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ГЁЛЬДЕРА
о л 4 ’
ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТИ С НЕГЛАДКОЙ "БОКОВОЙ" ГРАНИЦЕЙ
§1.0 некоторых свойствах фундаментальной матрицы решений
§2. Оценки для фундаментальной матрицы решений в бесконечной по времени области
§3. Оценки старших производных интегрального слагаемого
§4. Потенциал простого слоя
§5. Оценки пространственной производной второго порядка
потенциала простого слоя
§6. Интегральный оператор и
§7. Разрешимость второй краевой задачи в классе С1+а~(о)
ГЛАВА II. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ
2+а (—
С2+а’~Ь)
О Л ' '
§8. Специальный потенциал Т(р
§9. Гладкость плоского параболического потенциала
§10. Система граничных интегральных уравнений
§11. Разрешимость второй краевой задачи в классе С2*а'~Т(о)
БИБЛИОГРАФИЯ

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена исследованию гладкости решения второй краевой задачи для линейных параболических систем с одной "пространственной" переменной в области (неограниченной как по "временной", так и по "пространственной", переменной) с негладкой "боковой" границей.
На плоскости переменных х и £ рассматривается однородная линейная параболическая по И.Г. Петровскому [23] система уравнений:
1м = Е— -А(х,0~ + В(х,0 — + С(х,1)и = 0, (х,Г)еЯ2+, (0.1)
с% дх дх
где Ы; := Л. х (0,+°о), Е - единичная матрица размерности N х N (/У > 1),
А(х,/) = (аДх,г)), Щхр) = (й,(хц))"'=1, С(х,Г) = (сДх,/)) - матрицы
размерности N х N, элементы которых есть функции, определенные в 1
К настоящему времени достаточно полно разработана теория параболических потенциалов (порожденных фундаментальным решением уравнения) для одного уравнения, позволяющая получать конструктивные решения краевых задач (см. Жевре [11], Камынин [14-20], Бадерко [2-8], Черепова [41, 42], а также библиографию, приведенную в [5]). Эта теория позволяет, в частности, решать задачи в нецилиндрических областях с негладкими "боковыми" границами. Заметим, кроме того, что метод потенциалов составляет теоретическую основу численного исследования краевых задач методами интегральных уравнений (см., например, Дотре, Лионе [10]), чем объясняется все более растущий в последние годы интерес к этому методу.
В отличие от одного уравнения, метод потенциалов (порожденных фундаментальным решением уравнения) для параболических систем только начинает развиваться. Первыми работами в этом направлении были работы Пискорека [24-26], где доказана формула "скачка" для производной (которая в этой работе называется "трансверсальной") векторного потенциала
простого слоя, обобщающая известную формулу "скачка" для конормальной производной скалярного потенциала простого слоя, а также решена соответствующая краевая задача для системы (в цилиндрической области), обобщающая вторую краевую задачу для одного уравнения. В работах Тверитинова [34-39] была исследована гладкость векторного потенциала простого слоя для систем с одной "пространственной" переменной (п= 1) и установлена однозначная разрешимость в анизотропном пространстве
Гельдера С1+“’~(р) (определения анизотропных пространств Гельдера см.
ниже) краевых задач для системы (0.1) в областях на плоскости с негладкими "боковыми" границами (удовлетворяющими условию Жевре, см. ниже (0.2)). Затем в работе Зейнеддин [12] была получена разрешимость для такой системы второй краевой задачи в более широких классах Дини при минимальном требовании на гладкость "боковой" кривой (условии Дини-Гельдера) Во всех этих работах область предполагалась ограниченной по "временной" переменной 1.
Для случая одного уравнения, в работах Бадерко [7] и Шевелевой [42] были рассмотрены краевые задачи в неограниченных по "временной" переменной t областях и установлена принадлежность их решений
1+а 1+а
пространству Гельдера С™'2 (о) функций, экспоненциально растущих при ?-»+со. Череповой [41, 42] были получены оценки для старших производных
решений (а именно, для —- ) краевых задач, характеризующие возможный
дх1дх]
рост этих производных при приближении к негладкой по t "боковой"

границе области класса С ’2 . Бадерко [8] показала, что если повысить условия на гладкость функций из граничного условия, то решение задачи с косой производной уже принадлежит пространству с2+"(п), т.е., в

частности, его старшие производные непрерывны в замыкании области, хотя

і32 = р/зА,к(х,і;у,/зШу,Р;4,г)-0(х,№,т)}іу-
І+т И
*-Д
+ д{х,рг,г)йр &,к{х,ґ,у,із)сіу .= /3‘2 + ґ;2.

Оценим 12. Учитывая |Лх| < —> перепишем оценку (3.5) в виде:
Кб(хЯ;£г)| < с|Ах| 2 (ґ-г)-2+-
ехр<

+ ехр<
,(х + Ах-)2

хехр|— Л(( — г)|.
Отсюда получим
|/211 < С|Д?| 2 ехрі—я(ґ + Дґ - т) І І (? - /?)”3(/? - т)~4+7сі/З
(3.17)

X ||х - у| 2 ехр - с й I
І I- [
< С Дл 2 ехр(

(х-їУ

-}ехр{ С /?-г }
+ ехр-|
ехр-{ — Я(ґ + Д? - г)|-х
I (* - АҐ+4 - т)"2+4 + (' ~ г)'2 (' - )“,+4 (/7 - г)

/3-т

ду <

і— / — I
< С Дл 2 Ц - г) 2 + 2 ехр(

р{я(? + Дг - г)}.
/ +Д?-г]
Используя представление (3.8), перепишем 1]2 в виде суммы:

4 ="

Используя гельдеровость коэффициентов оператора Ь, оценки (1.9), (3.14) и теорему о среднем, имеем:
(*-£)217
|/з2 I < С|Л/((/ - т)~ 2 + 2 ехрк
/+£ К
('-/?)"2 + 2 +|х-у|“(?-у9)"2
хехр-
с (х - у)2 - 2(/ + Дґ - /?)] 4 і + М - р |
(Ірсіу <