Формирование элементов математических структур у учащихся восьмилетней школы : на факультативных и кружковых занятиях

• Автор: Шадурдыев, Гундогды
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ашхабад
• Количество страниц: 183 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ. II

1. Краткое содержание понятия математической

структуры. II

2. Методологическое значение математических

структур

3. Мышление ребенка и математические структуры

4 Использование математических структур в

других науках и технике.

5, Использование понятия математической
структуры в методике преподавания математики
а Краткий анализ научнометодических исследований, относящихся к изучению элементов математических структур на факультативных
и кружковых занятиях.
б Математические структуры в решении проблемы интеграции школьного курса математики в Математические структуры в решении проблемы преемственности обучения математике .
г Использование элементов топологических
структур в обучении математике.
д 0 взглядах некоторых ученых на вопросы изучения элементов математических структур в средней школе.
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУР 1. Пути осуществления мировоззренческой направленности изучения элементов математических структур на факультативных и кружковых
занятиях в восьмилетней школе
2. методика изучения элементов структур порядка на факультативных занятиях в
седьмом классе.
3. Методика изучения элементов алгебраических структур на факультативных занятиях в восьмом классе
4. Методика изучения элементов топологических структур на кружковых и факультативных занятиях в восьмом классе
5. Эксперименты по изучению элементов математических структур и их результаты Х
вывода.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы ( в случав групп -это отношение осТ^=& между тремя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Математическая структура и структура математики не являются тождественными понятиями. Понятие "математическая структура” - это обобщение различных типов математических структур, являющихся объектом изучения аксиоматической теории. Оно предопределяет, характеризует структуру математической теории, лежит в основе ее единства, служит "рычагом" в сфере ее действия, то есть понятие "математическая структура" взаимодействует с понятием структура математики, играет доминирующую, базисную роль. Следует сказать, что вопрос о математических структурах не новый. Он возник в начале прошлого столетия, когда начались исследования наиболее элементарной математической структуры -группы. Тогда еще не было вполне осознанно их истинное значение как нового подхода к математике. Даже само понятие "структура" появляется в конце прошлого столетия, главным образом в трудах Р. Дедекинда. Алгебраическим структурам Н. Еурбаки дают такое определение: "Алгебраической структурой в множестве 6 называется всякая структура, определяемая в & одним или несколькими внутренними законами композиции элементов из & и одним или несколькими внешними законами композиции операторов из областей операторов И. Примерами алгебраической структуры является группа, кольцо, поле, векторное пространство. Г=(&. С =. Группа обладает единичным элементом ? Каждый элемент ои группы обладает обратным, то есть существует аеб , такой, что аа = аа=? Бели, кроме того, выполняется также и аксиома % : Групповая операция коммутативна: а & = для любых а/еб. Группа является наиболее важной алгебраической структурой с одной бинарной операцией. Из структур же, характеризующихся наличием двух (бинарных) операций, важнейшими являются кольцо и поле. Кольцом называется множество ЛС , в котором определены две ассоциативные операции, одна из которых обязательно коммутативна, а вторая может быть как коммутативной, так и некоммутативной; по традиции первую операцию всегда называют сложением и обозначают знаком а вторую - умножением и обозначают знаком ". При этом по сложению кольцо должно образовывать (коммутативную) группу, а умножение должно быть дистрибутивно относительно сложения. ЛСГ: (ос + ё)+С = <х + ( & і- с) для любых а? В - Ь + сс для любых а? Во) для любых сс,6,се*м сс(В+с)-а&+ссс. Вс. СС€. М, то X называется кольцом с единицей. В)ч- с = а + ( 6 + с) для любых а, 6,6 є м. Шу. Существует элемент ОєМ. В + с)-сс6+С1с; (а+6)с. Вусем. Вес для любых ос, Єє. ИІ9 что а а#- сс & = 1. Для того, чтобы определить следующую из интересующих нас алгебраических структур, придется вернуться к общему определению алгебраической структуры по Бурбаки. Задающие структуру (бинарные) алгебраические операции Н. Еурбаки делит на "внутренние" и "внешние". Внутренняя операция сопоставляет новый элемент ? Л ^возможная запись: с- а*В ; внутренняя операция - это отображение М*Л1 —); внешняя же операция сопоставляет новый элемент сВ паре из элемента сс основного множества структуры и элемента Л "внешнего", дополнительного множества У , которое мы оудем называть множеством чисел, хотя Бурбаки, с большими, быть может, основаниями, предпочитает именовать его множеством операторов (здесь уместно писать d-9. Теперь мы можем дать требуемое определение. Векторное пространство над полем У "чисел" (где поле У может быть совершенно произвольным) - это структура д=(Л;+,*) , где в ОСНОВНОМ множестве М- СС) В; с-. Л,а)—> (с1-л(? ЖсМ, ). В1: {а + €*)+ с - а + (ё+ с”) для любых сс, 6, се М. Ву. В = € + сс для любых сс, I е. И+ (-а)-О . Х + дс)а ~ для любых ^еТи а^Х1. А + для любых К^Т и а/? Ву А(№&)~ (Лдл)а, для любых а ем. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х , у как функцию другого. Ву9 у Я 2- следует х/? Отношения нестрогого порядка обладают выше приведенными аксиомами а/, б/, 6/.