Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения : Школа - вуз

• Автор: Тестов, Владимир Афанасьевич
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 404 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ КАК ОСНОВА РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

1. Математические структуры и содержание обучения математике

1.1. Понятие структуры и системный подход в современной науке

1.2. Математические структуры в понимании Н. Бурбаки

1.3. Математические структуры в общенаучном понимании

1.4. Структуры математического мышления в теории Ж. Пиаже

1.5. Структуры в математическом образовании

1.6. Недостатки в изучении структур, проявившиеся в ходе реформы х годов

2. Познавательные структуры в современной психологии и их роль в развивающем обучении
2.1. Информационный подход в современной психологии
2.2. Понятие о репрезентативных когнитивных структурах
2.3. Основные законы развития когнитивных структур
2.4. Развитие когнитивных структур и принципы развивающего обучениябЭ
2.5. Математическое развитие и схемы математического мышления
2.6. Выводы
3. Математические структу ры и проблема математических способностей
3.1. Познавательные способности и умственное развитие
3.2. Математические способности и математические структуры
3.3. Основные виды схем математического мышления
3.4. Диагностика математических способностей
3.6. Выводы
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ КАК МЕТОДИЧЕСКАЯ ОСНОВА РЕАЛИЗАЦИИ ОСНОВНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ
1. Основные дидактические принципы построения математических курсов и роль математических структур в их реализации
1.1. Принцип генерализации и взаимосвязанности знаний
1.1.1. Генерализация знаний
1.1.2. Взаимосвязанность знаний
1.2. Принцип научности и доступности обучения
1.2.1. Научность обучения
1.2.2. Доступность обучения
1.3. Принцип систематичности и последовательности
1.4. Принцип практической и гуманитарной направленности
1.4.1. Практическая направленность обучения
1.4.2. Гуманитарная направленность обучения
2. Роль математических структур в реализации принципа преемственности
2.1. Единство непрерывности и дискретности обучения
2.2. Преемственность как общепедагогический принцип
2.3. Повторение в математических курсах
2.4. Упражнения в математических курсах
2.5. Значение пропедевтики в математических курсах
2.6. Преемственность между средней школой и вузом
2.7. Выводы
3. Принцип многоступенчатости формирования основных математических структур
3.1. Многоступенчатость формирования знаний как общедидактический
принцип
3.2. Уровни сформированности математических структур
3.3. Формирование математических схем мышления
3.4. Многоступенчатость формирования теоретикомножественных понятий
3.5. Многоступенчатость формирования порядковых структур
3.6. Многоступенчатость формирования алгебраических структур
3.7. Специфичность ступеней формирования топологических структур
3.8. Выводы
ГЛАВА 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОТДЕЛЬНЫХ ВИДОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУР
1. Формирование понятия о скалярной величине.
1.1. Величины и измерения
1.2. Первоначальное понятие о величине
1.3. Дальнейшие этапы формирования понятия о скалярных величинах
1.4. Некоторые особенности в изучении теории неравенств
2. Формирование представлений о структуре натурального ряда
2.1. Порядковый и количественный аспекты натурального числа
2.2. Первоначальные этапы формирования понятия о натуральных числах
2.3. Система натуральных чисел как вполне упорядоченное множество
2.4. Различные формы математической индукции
3. Формирование понятий о других числовых системах
3.1. Целые и рациональные числа
3.2. Действительные числа
3.3. Комплексные числа и кватернионы
4. Изучение отношения делимости и различных обобщений основной теоремы арифметики
4.1. Начальные этапы изучения отношения делимости
4.2. Изучение отношения делимости в моноидах
4.3. Отношение делимости в евклидовых полукольцах
5. Формирование понятий о нелинейных порядковых структурах
5.1. Начальные этапы изучения нелинейных структур
5.2. Решетки и их изучение в курсе алгебры
5.3. Изучение булевых алгебр
5.4. Изучение риссовых упорядоченных множеств
6. Экспериментальная основа исследования
6.1. Школьный блок экспериментальной работы
6.2. Вузовский блок экспериментальной работы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЯ


Первый этап формирования этого понятия можно назвать дочисловым, он охватывает возраст ребенка примерно от 2 до лет. На этом этапе понятие об упорядоченности формируется у ребенка начиная с периода чувственнодвигательных действий, а затем в течение всего периода зрительных представлений. Еще при строительстве пирамидок, башен из кубиков ребенок приходит к понятию большеменьше. Как показывают результаты, полученные Ж. Пиаже в его совместной работе с польским психологом А. На этом уровне ребенок может сравнить по величине любые два предмета и выбрать из них больший. Однако на этом уровне ребенок при расположении предметов в цепочку допускает в деталях нарушение правильной последовательности и еще не осознает универсальность инвариантность свойства транзитивности если АВ и ВС, то АС. На этом уровне ребенок правильно располагает предметы в цепочку. На этом уровне ребенок не только отчетливо осознает основные свойства отношения порядка транзитивности, трихотомии для любых А и В либо АВ, либо АВ, либо АВ и антирефлексивности ни для какой величины А она не может быть больше меньше самой себя, но может легко построить инверсный порядок и осознает соответствие между порядковым номером предмета и количеством предметов ему предшествующих. Третьего уровня ребенок достигает в летнем возрасте, т. Как отметил Ж. Пиаже, если в психологической основе алгебраических структур лежит принцип обратимости, то в основе порядковых структур лежит свойство взаимности. Используя это свойство, складывающееся у ребенка к 6 годам, при обучении математике можно уже в летнем возрасте начинать изучение порядковых структур. Дальнейшее познание этих структур будет состоять в их дифференциации от общего к частному и в комбинировании их друг с другом от простого к сложному 8, с. Отечественная психология неоднозначно относится к трудам Ж. Пиаже, отмечая в них как сильные, так и слабые стороны. Некоторые выводы в ранних работах Ж. Пиаже критиковал еще Л. С. Выготский. Жан Пиаже считал, что в мышлении ребенка уже изначально как бы обусловлено самой природой заложены предпосылки для образования представлений, соответствующих основным математическим структурам. Они с необходимостью определяют закономерности и последовательность этих представлений. Согласно Ж. Пиаже интеллектуальное развитие и, в частности математическое, заканчивается к годам, т. Однако, как показали исследования И. Я. Каплуновича, после лет математическое развитие не заканчивается, а идет прежде всего за счет формирования разнообразных связей и отношений между отдельными подструктурами 1. Говоря о результатах исследований Ж. Пиаже и его сотрудников, необходимо отметить, что эти исследования проводились, в основном, с детьми 4 лет. Значительно меньше проводилось экспериментов с детьми более старшего возраста а старше лет не проводились вовсе. Но и для таких детей школой Ж. Пиаже был получен ряд важных результатов. В этом возрасте, а именно, начиная с лет, происходит полная перестройка интеллекта. Как отметил Ж. Пиаже, характерное для юношества рефлексивное мышление зарождается с лет, начиная с момента, когда субъект становится способен рассуждать гипотетикодедуктивно 0, с. Он охарактеризовал операции этого уровня как операции второй ступени или операции над операциями. Относительно этого возраста в другой своей книге Логика и психология Ж. Пиаже делает важное замечание Психологи показали, что в возрасте двенадцати лет ребенок способен открыть элементарные комбинаторные операции. Эти операции он открывает, конечно, не осознавая того, как они могут быть сформулированы математически, открывает, находя систематический метод комбинирования операций, причем на том же самом уровне интеллектуального развития, на котором он начинает употреблять пропозициональные операции такие, как ргэр, т. Таким образом, согласно Ж. Пиаже, комбинаторные операции относятся к операциям второго порядка и возникают вместе с рефлексивным мышлением в возрасте лет. На выборе направлений дальнейших исследований Ж. Пиаже безусловно сказалась точка зрения Н. Бурбаки. И, по всей видимости, этим обстоятельством объясняется тот факт, что Ж.