Развитие метода редуцированных элементов для расчета регулярных стержневых систем и анализа плоских температурных полей

• Автор: Карпов, Дмитрий Васильевич
• Шифр специальности: 05.23.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 209 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И АНАЛИЗ РАЗВИТИЯ МКЭ

И ЕГО МОДИФИКАЦИЙ

1.1. История развития МКЭ

1.2. Общие физические представления и математические формулировки МКЭ

1.2.1. Общие физические представления.

1.2.2. Математические формулировки МКЭ

1.2.3. Выбор пробных функций

1.2.4. Основные уравнения МКЭ в матричной форме

1.3. Типы КЭ

1.3.1. Классификация элементов но геометрическим признакам
1.3.2. Базисные функции элемента. Классификация элементов в зависимости от используемых базисных функций.
1.3.3. Криволинейные конечные элемагты
1 4. Метод супсрэлементов
1.5. Метод граничных элементов
1.6. Метод модульэлементов
1.7. Метод конечных полос
1.8. Метод редуцированных элементов
1 9. Вопросы точности и сходимости МКЭ
1.9.1. Ошибки пробной функции
1.9.2. Ошибки дискретизации и округления
1.9.3. Устойчивосгь решения системы уравнений
1. Выводы по главе I
ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА
РЕДУЦИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.1. Сущность метода редуцированных элементов
2.2. Интерполяционное редуцирование матриц жесткости и векторов узловых нагрузок
2.2.1. Редуцированная матрица жесткости
2.2.2. Редуцированный вектор узловых нагрузок
2.2.3. Поэлементное редуцирование
2.3. Получение интерполяционной матрицы
2.4. Выводы по главе 2
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ МРЭ
3.1. Одномерные элементы
3.1.1 Одномерные элемеггы, работающие на растяжение сжатие 3 1.2. Стержневые КЭ, работающие на изгиб изгибные КЭ.
3.2. Конечные элементы, используемые в решении задач 4 теплопроводности
3.2.1. Матрицы теплопроводности
3.2.1.1. Одномерный случай переноса тепла
3.2.1.2. Прямоугольные элементы
3.2.1.3. Произвольные четырехугольные элементы
3.2.2. Матрицы теплоотдачи пограничного слоя
3.2.3. Редуцированные векторы нагрузки
3.2.4. Учет граничных условий I рода
3.2.5. Учет точечного источника тепла
3.2.6. Учет фильтрации теплоносителя
3.3, Выводы по главе 3
ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ, РЕАЛИЗУЮЩИХ МРЭ
4.1. Алгоритм получения интерполяционных матриц одномерных РЭ
4.2. Алгоритмы послойного и поэлементного редуцирования для 2 двумерных задач
4.3. Алгоритм для решения задач теории теплопроводности с
помощью МРЭ
4.4. Выводы по главе 4
ГЛАВА 5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МРЭ
5 1. Расчет стержня переменного поперечного сечения на 3 растяжениесжатие
5.2. Расчет многоэтажной рамы
5.3 Расчет температурных полей с использованием МРЭ
5.3.1. Расчет стационарного температу рного поля
5.3.2. Учет точечного источника тепла
5.3.3. Учет фильтрации теплоносителя
5.4. Расчет температурного поля в здании
5.5. Исследование температурного поля под плитным фундаментом 9 здания
5.6. Выводы по главе 5
Заключение
Литература


Порядок вывода таких уравнений следующий выявляются все КЭ, содержащие рассматриваемый узел и для каждого элемента в общей системе координат выписывают проекции вектора сил в рассматриваемом узле. Алгебраическую сумму последних по направлению каждого перемещения приравнивают нулю. Поскольку число степеней свободы узлов равно числу уравнений, получают разрешающую систему, из которой определяют перемещения узлов Известные узловые перемещения позволяют вычислить узловые усилия, перейти к деформациям и напряжениям. Сказанное определяет физическую сущность МКЭ и позволяет выявить важные особенности, обеспечивающие широкое применение метода. Прежде всего, можно отметить, что МЖ КЭ и вектор внешних сил не зависят от геометрии конструкции и условий закрепления. Матрица жесткости определяется лишь свойствами КЭ; формой, размерами, упругими характеристиками материала. Вектор внешних сил зависит только от значений внешних нагрузок на элемент. Значит, операция определения МЖ КЭ и вектора внешних сил может быть выполнена заранее до выполнения расчета конкретной конструкции. КЭ, можно для этих элементов вычислить МЖ и векторы внешних узловых нагрузок. В совокупности такие элементы позволяют создать библиотеку стандартных КЭ. Тогда расчет сводится к разбивке конструкции на стандартные элементы, вычислению соответствующих векторов и матриц для КЭ по заложенным в библиотеку программам, составлению и решению системы уравнений равновесия узлов. Все эти многократно повторяемые операции достаточно просты и однообразны и допускают высокую степень автоматизации расчета. Но в схеме МКЭ заложены и очевидные недостатки. В частности, выбирая большие по размерам КЭ и задаваясь сравнительно простой аппроксимацией перемещений или напряжений в пределах КЭ, мы неизбежно будем искажать жесткость конструкции в целом. Отсюда возможны два выхода: либо уменьшать размеры элементов, либо усложнять аппроксимацию в пределах элемента И тот, и другой путь приводит к росту объема вычислений. Кроме того, увеличение числа неизвестных ухудшает обусловленность исходной системы, а значит, увеличивает вычислительную погрешность. По этим причинам использование описанной схемы МКЭ имеет естественные ограничения. Для обхода отмеченных трудностей строятся специальные модификации МКЭ, рассмотренные ниже. Математические формулировки МКЭ. По способу исполнения и формулировки основных уравнений МКЭ или уравнений для отдельных КЭ можно различить 4 основных вида МКЭ: прямой метод, вариационный метод, методы взвешенных невязок (метод Бубнова-Галеркима, метод наименьших квадратов) и метод глобального баланса (метод Одена). Прямой метод аналогичен методу перемещений. Его используют при решении относительно простых задач, он удобен четким геометрико-механическим значением отдельных шагов аппроксимации. Здесь /, - линейный дифференциальный оператор, действующий над функцией