Численное решение задачи устойчивости пластин при действии неравномерной сжимающей нагрузки

• Автор: Мелехин, Николай Михайлович
• Шифр специальности: 05.23.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 190 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Численные методы в задачах строительной механики.

Вопросы расчта пластин на прочность и устойчивость.

1.1 Методы конченых разностей и конечных элементов в расчте пластин.

1.2 Метод последовательных аппроксимаций.

1.3 Вопросы расчта пластин.

1.4 Выводы Глава 2. Численное решение плоской задачи теории

упругости в напряжениях.

2.1 Дифференциальные уравнения плоской задачи теории упругости и их представление в безразмерном виде.
2.2 Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными уравнениями метода последовательных аппроксимаций.
2.3 Вычисление касательных напряжений.
2.4 Алгоритм решения плоской задачи в напряжениях.
2.5 Решение тестовой задачи.
2.6 Решение новых задач.
2.7 Выводы. Глава 3. Численное решение задач устойчивости пластин
постоянной толщины при равномерном нагружении.
3.1 Дифференциальные уравнения устойчивости
пластин и краевые условия.
3.2 Аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий разностными уравнениями МПА.
3.3 Алгоритм решения задачи устойчивости.
3.4 Решение задач.
3.5 Сравнение численного решения задач по МПА с экспериментальными данными.
3.6 Выводы. 5 Глава 4. Численное решение задач устойчивости пластин постоянной толщины при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во
внутренних точках сетки.
4.1 Вывод разностных уравнений МПА для двумерных задач с разрывными параметрами и основные расчтные предпосылки.
4.2 Алгоритм решения задач устойчивости пластин при неоднородном нагружении и действии нагрузок во внутренних точках сетки.
4.3 Решение задач.
4.4 Выводы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Аналитические методы расчта конструкций и сооружений сложны и трудомки.
Внедрение ЭВМ в практику проектирования поставило ряд проблем, к которым можно отнести следующие усовершенствование и создание новых численных методов решения прикладных задач, реализация этих методов на ЭВМ, разработка алгоритмов но расчту сооружения в целом или его отдельных частей и ряд специальных вопросов, возникающих при использовании ЭВМ в проектнорасчтных разработках.
Большинство инженерных задач приходится решать приближнными численными методами. Развитие вычислительной техники сопровождается появлением новых численных методов расчта, удобных для работы на персональных компьютерах.
Наиболее широко используемыми в настоящее время численными методами являются метод конечных разностей МКР, иначе метод сеток, и метод конечных элементов МКЭ. Эти и другие методы, по существу, идентичны и сводят решение континуальной задачи к решению систем алгебраических уравнений или к раскрытию определителей.
При использовании конечнорашостных методов для решения линейных задач возникают линейные системы уравнений с матрицей, содержащей относительно малое число ненулевых элементов. Это позволяет решать системы уравнений с большим числом неизвестных. Однако, в случае областей сложной формы применение МКР представляет неудобства вследствие неоднородности построения разностных уравнений в тираничных точках.
МКЭ свободен от ряда недостатков МКР он не требует специальных усилий по построению системы базисных функций, при его использовании упрощается написание уравнений вблизи границы. Матрица линейной сис
темы уравнений содержит относительно малое число ненулевых элементов. Большая технологичность метода позволила создать на его основе ряд систем стандартных программ решения краевых задач, в частности задач теории упругости. Этот метод сходится при меньших требованиях гладкости, чем МКР. В то же время, увеличивается объм работы при вычислении матрицы системы уравнений. Поэтому при решении задач большого объма зачастую применяют МКР или приходят к составлению систем уравнений с помощью аппроксимации минимизирующего функционала.
Отсюда видно, что каждый численный метод может иметь свою область применения в зависимости от характера задачи.
Возможности имеющихся методов не всегда достаточны в практ ике инженерных расчетов. В частности, в случае расчта конструкций типа пластин и оболочек с разрывными параметрами применение известных численных методов связано с сильным сгущением расчтной сетки, особенно в местах разрыва. Поэтому возникла потребность в создании новых методов для расчта таких конструкций.
На кафедре строительной механики МГСУ Р.Ф. Габбасовым разработан численный метод последовательных аппроксимаций МПА, который позволяет решать задачи, не прибегая к законтурным точкам, не сгущая расчтную сетку вблизи разрывов и особенностей. Метод сводится к составлению разностных уравнений, учитывающих конечные разрывы искомой функции, правой части исходных дифференциальных уравнений, а также разрывы производных этих функций.
Разработанный метод позволяет с единых позиций строить алгоритмы расчта всех конструкций балок, арок, рам, ферм, плит постоянной и кусочнопеременной жесткости, изгибаемых и сжатоизогнутых, на упругом основании и без основания, ребристых и ортотропных, средней толщины, а также балокстенок и оболочек призматических, пологих, подъ
мистых на действие статических, динамических нагрузок и на устойчивость.
Благодаря простоте алгоритма и высокой точности методики многие задачи решаются при малом числе разбиений с использованием настольных вычислительных средств без составления программ для ЭВМ.
Разностные уравнения МПА используются и при проектировании реальных сооружений для проверки расчтов отдельных частей зданий, выполненных по общим программам метода конечных элементов МКЭ.
МПА дат результаты высокой точности. Однако разработанные мощные программы выдвигают на первое место МКЭ. Если задача не решается по общей программе МКЭ, рациональнее обратиться к МПА. Этот метод высокоэффективен в исследовательских работах.
Актуальность


При решении тестовых задач достигнута достаточно высокая точность, пропорциональная числу элементов. Но, с другой стороны, возрастает размерность задачи и, в связи с этим, время решения е на ЭВМ. Таким образом, для решения задач устойчивости пластин применяются различного типа конечные элементы. Оценка точности тот или иного конечного элемента и сходимость приводятся в различных тестовых задачах. Вопрос использования МКЭ в задачах механики непосредственно связан с реализацией этот метода. Несмотря на внешнюю простоту постановки задачи, возникают трудности переложения с на ЭВМ. Существует ряд задач, решение которых возможно только МКЭ. Наряду со всеми достоинствам МКЭ, отметим и недостатки. Главный недостаток МКЭ необходимость составления вычислительных программ и применения ЭВМ, имеющих большую оперативную память. Большое число совместно решаемых алгебраических уравнений приводит к слишком громоздким вычислениям даже в случае простых задач. Хотя в настоящее время разработаны мощные зарубежные , 7, и отечественные включая украинские Лира 9, , программные комплексы, позволяющие, при наличии приложений, решать практически любые задачи, ими не всегда есть возможность пользоваться, ввиду требования больших ресурсов ЭВМ и их дороговизны, особенно это касается иностранных ПК. К тому же проверка результатов расчта по ним затрудняется, так как расчтчик видит только оболочку, но не суть работы программы. Метод последовательных аппроксимаций. На первых этапах практического решения задач для уравнений с частными производными применялись, в основном, методы, где приближнное решение получалось в виде некоторой аналитической формулы. Позднее были созданы сеточные методы решения уравнений с частными производными. При этом методе получается совокупность приближнных значений решения в некоторой конечной системе точек. При решении краевых задач были разработаны численные методы интегрирующих и дифференцирующих матриц. Впервые численный метод интегрирующих матриц был предложен А. Ф. Смирновым при решении обыкновенных дифференциальных уравнений . Автором была выдвинута идея о выражении младшей производной некоторой функции через старшие с помощью матрицы интегрирования, построенной с использованием аппроксимирующих функций, сформированных на основе полиномов Лагранжа. Последовательно применяя матрицу интегрирования, можно приближнно описать искомую функцию по е производным. Александров 5, также используя полиномы Лагранжа, построил матрицу дифференцирования, последовательное применение которой позволило переводить функцию в с первую производную. В итоге, старшая производная функции выражалась через искомую функцию. В этих методах решение дифференциального уравнения с частными производными сводится к решению матричного. В работе Б. При использовании этого метода искомая функция и каждая ее производная последовательно аппроксимируется описывается приближнно одной и той же аппроксимирующей функцией, сформированной полиномом, как указанно выше, или какойлибо другой известной функцией. При этом полином, аппроксимирующий искомую функцию, выражается через узловые значения этой функции, а полином того же порядка, аппроксимирующий производную, выражается через узловые значения производной. Методы, использующие в качестве аппроксимирующих функций интерполяционные полиномы Лагранжа, дают высокую точность при небольшом числе разбиений. В работах 5, 9 не рекомендуется использовать полиномы выше шестого порядка. Были предложены другие методы формирования матрицы интегрирования. Использование прямых отрезков , значительно упрощает формирование матрицы интегрирования, при этом сохраняются все положительные качества метода, однако аппроксимирующая функция получается недостаточно гладкой. М.Б. Вахитовым , предложено формирование матрицы интегрирования с использованием алгебраических полиномов невысокой степени. На примерах, приведнных в , , , показано, что аппроксимация искомой функции скользящей кубической параболой дат хорошую сходимость, упрощает формирование матрицы интегрирования, при этом матрица имеет ленточную структуру.