Математические постановки и подходы к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем

• Автор: Воробьев, Михаил Валериевич
• Шифр специальности: 05.23.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 190 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.

Глава 1. Обзор современных численных методов решения задач

расчета конструкций и некоторые вопросы их реализации.

1.1. Метод конечных элементов

1.2. Метод граничных интегральных уравнений.

1.3. Применение аппарата обобщенных функций.

1.4. Основные результаты и выводы по Главе 1

Глава 2. Постановки краевых задач расчета балочных конструкций

и корректные методы их аналитического решения

2.1. Постановки некоторых одномерных задач строительной механики.

2.2. Корректный метод аналитического решения краевых задач
строительной механики.
2.3. Примеры постановок и аналитических решений некоторых
краевых задач строительной механики.
2.4 Общая операторная постановка и безусловная вариационная
постановка краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.
2.5. Основные результаты и выводы по Главе 2
Глава 3. Общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи об изгибе плиты.
3.1. О постановках краевой задачи об изгибе плиты.
3.2. Операторная постановка краевой задачи об изгибе плиты
3.3. Представление оператора краевой задачи в декартовых координатах
3.4. Представление оператора краевой задачи в граничных координатах
3.5. Общая постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты.
3.6. Безусловная вариационная постановка краевой задачи об изгибе плиты.
3.7. Граничная постановка краевой задачи об изгибе плиты
3.8. Об определении интегралов от ядер граничного оператора
краевой задачи об изгибе плиты для линейных участков границы
3.9. Постановка краевой задачи об изгибе плиты, используемая
для численной реализации
3 Основные результаты и выводы по Главе 3
Глава 4. Общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи теории упругости.
4.1. Операторная постановка краевой задачи теории упругости.
4.2. Представление оператора краевой задачи в декартовых координатах
4.3. Представление оператора краевой задачи в граничных координатах
4.4. Общая постановка смешанной краевой задачи теории упругости .
4.5. Безусловная вариационная постановка краевой задачи теории
упругости
4.6. Граничная постановка краевой задачи теории упругости
4.7. Основные результаты и выводы по Главе 4.
Глава 5. Численное решение задачи стыковки двух плит.
5.1. Математическая постановка задачи
5.2. Численный подход к построению общего решения задачи
5.3. Об определении интегралов от ядер граничных операторов.
5.4. Основные результаты и выводы по Главе 5
Глава 6. Численное решение задачи стыковки стенки и балки
6.1. Постановка краевых задач и общий вид решения.
6.2. Численный подход к построению решения задачи.
6.3. Об определении интегралов от ядер граничных операторов .
6.4. Основные результаты и выводы по Главе 6
Заключение.
Литература


А. Ильичева, В. Н. Клепикова, Ю. Д. Копейкина, Б. С.В. Кузнецова, В. Д. Купрадзе, Е. Н. Курбацкого, М. И. Лазарева, В. A.М. Линькова, В. М. Лиховцева, О. В. Лужина, Ю. B.З. Партона, М. Н. Перельмутера, П. И. Перлина, Л. B.C. Рябенького, В. Н. Сидорова, В. И. Тараканова, В. И. Травуша, А. Г. Угодчикова, Н. М. Хуторянского, А. И. Цейтлина и др. Среди зарубежных авторов следует отметить работы таких авторов как Р. Баттерфилд, К. П. Бенерджи, К. Бреббиа, С. Крауч, А. Старфилд, Дж. Т. Кацикаделис, Д. К.Ф. Тсллес, С. Уокер и др. Особо следует отметить методы граничных интегральных уравнений, основанные на применении теории функций комплексного переменного, основа которых заложена Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Математическая постановка краевых задач строительной механики, основанная на применении обобщенных функций и псевдодифференциальных операторов, представляется особенно перспективной. Одним из достоинств обобщенных функций является корректное математическое представление сосредоточенных воздействий (сосредоточенная сила, сосредоточенный момент), разрыва функции и других физических факторов, широко представленных в строительной механике. Любая обобщенная функция является бесконечно дифференцируемой (в обобщенном смысле). Это свойство позволяет преодолеть особенности в узлах конструкции. При применении обобщенных функций возникает вопрос их регуляризации. Обобщенные функции в нестрогой форме применялись физиками еще в начале -го столетия. В частности, в конце -х годов П. Дирак впервые в своих исследованиях ввел 5-функцию (дельта-функцию) []. Основателем математической теории обобщенных функций можно с полным правом считать академика C. JI. Соболева. В году он применил обобщенные функции при исследовании задачи Коши для гиперболических уравнений. Французский математик JL Шварц в году в работе [4] представил систематическое построение теории обобщенных функций. Вслед за ними развитие теории обобщенных функций получило свое отражение в работах многих математиков и физиков, среди которых можно перечислить П. Антосика, Ж. Арсака, Н. И. Бакиевича, Е. Бельтрами, H. H. Боголюбова, Г. Бремермана, Ю. А. Брычкова, А. Вайтмана, Н. Я. Виленкина, B. C. Владимирова, М. Волер-са, Ж. Гарсу, И. М. Гельфанда, Л. Гординга, А. Земаняна, Р. Поста, В. Кеча, A. A. Логунова, Л. Мальгранжа, Б. В. Медведева, Я. Минусинского, В. П. а-ламодова, М. К. Поливанова, М. Рида, Б. Саймона, Р. Сикорского, С. Л. Соболева, Р. Стритера, П. Теодореску, И. Т. Тодорова, Ж. Трева, Л. Хермандсра, Л. Шварца, Г. Е. Шилова, Д. В. Широкова, Л. Эренпрайса и др. При первичных традиционных подходах решение исходной краевой задачи ищется в виде, включающем либо потенциал двойного слоя, либо производную потенциала простого слоя. Возникающие в этом случае особенности в подынтегральной функции интегрируются на основе вычисления так называемого интеграла Коши (главного значения). При этом общий порядок интегрирования традициоиен. Граница разбивается на мелкие отрезки. Интегрирование по отрезкам разбиения ведется по численным формулам, в частности, прямоугольников или трапеций (чаще прямоугольников). Другой подход состоит в следующем. Сначала вычисляется в аналитическом виде интеграл от простого слоя, а потом вычисляется его производная. К этому сводится применение методов типа Галеркина, где проводится интегрирование соответствующего уравнения. Практически такие аналитические подходы ликвидируют особенности. Иная регуляризация возможна на основе применения формул типа Гаусса, которые позволяют обойтись без вычисления интегралов в особых точках и содержащих их граничных элементах. Приведем основные соотношения для конечной области ? О. = П и Г. Поскольку основные формулировки прямых и непрямых методов содержат сопряженные операторы, следовательно, осуществляя аппроксимацию по одному методу, переходим к другому за счет транспонирования матричного оператора. Т(х, у) - ядро потенциала двойного слоя, у/(у) - плотность потенциала двойного слоя, Г - граница области О. Т(х0,у)[ч/(у)-Ч/(хй)]<1Гу .