Численное моделирование задач с неопределенностями в данных

• Автор: Добронец, Борис Станиславович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 266 с.

Интервальные числа и операции . Пространства и нормы. Сеточные области и разностные отношения . Интервальные расширения. Оценка минимума строго выпуклой функции. Интервальные интерполяционные полиномы . Интервальные сплайны. Интервальные интегралы. Одномерные задачи. Некоторые свойства вариационноразностных решений . Аппроксимация кубическими элементами. Уточнение решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Построение вектора начальных приближений . Численные примеры . Построение оптимальных границ множеств решений . Постановка задачи и вспомогательные сведения . Преобразование системы ОДУ. Оценки областей достижимости. Апостериорное оценивание. Метод Ньютона для квазилинейного уравнения. Двусторонние методы . Квазилинейные эллиптические уравнения . Операторы немонотонного тина. Многосеточный метод . Уменьшение ширины двустороннего решения . Численный пример. Двумерное параболическое уравнение. Уточнение разностных решений. Соболева, состоящее из функций и рП, имеющих обобщенные производные даи V т.


В пятом параграфе рассмотрена первая начальнокраевая задача для двумерного параболического уравнения Для получения двусторонней оценки эта задача сначала приближенно решается с использованием схемы расщепления метода суммарной аппроксимации. Затем полученное разностное решение аппроксимируется с помощью тензорного произведения двумерных эрмитовых сплайнов но пространственным переменным и одномерного линейного сплайна по временной переменной. Выбор степени сплайнов согласован по точности с используемой разностной схемой. Двусторонняя оценка также получается в виде этих сплайнов на основе принципа максимума. Шестая глава посвящена методам уточнения численных решений. Рассмотрим общий подход уточнения решений, основанный на вычислении невязок. НЬ ЛЕ. Мы предположим, что непосредственно задачу 0. Пусть Ь малый параметр, определяющий семейство пространств В. РРииоКг. Ьз рз. Вычитая последнее равенство из 0. Ьи Ь. В силу аппроксимационных свойств оператора Ь мы вправе ожидать, что 5 и и следовательно 6 Ьи. V И у Е линейная часть оператора Ь, 6 В некоторая функция лежащая в коридоре с концами щ в. Заметим, что в случае линейного оператора Ь V Ь. IIРе д КНМЕ. Во втором параграфе, рассмотренный выше подход, распространен на уточнение разностных решений краевых задач для эллиптических уравнений. Построение оптимальных параметров для методов РунгеКутта рассмотрено в третьем параграфе. Уточнению численных решений задач Коши для систем ОДУ посвящен четвертый параграф. Краевые задачи рассматриваются в пятом и шестом параграфах. В шестом параграфе рассматриваются методы повышения точности вариационноразностных решений эллиптических задач. Метод основан на сглаживании решений, полученных методом конечных элементов МКЭ с использованием кусочнолинейных элементов, конечными элементами высоких порядков. Затем, используя невязку сглаженного решения, численно находится уклонение аппроксимированного решения от точного. Метод сочетает в себе простоту использования МКЭ с кусочнолинейным базисом и точность, которую дает МКЭ, использующий конечные элементы высоких порядков. Седьмая глава полностью посвящена построению схем высоких порядков точности. Ьи еП, 0. Е Ш 1,. Аг, Х 6 9П, г ДГ 4 1, . АУ Наша цель построить разностную схему для нахождения численного решения гг, г 1,. АГ задачи 0 Выберем некоторую точку о П, и пусть 1,. Пд точки расположенные непосредственно вблизи 2. Ячейку и о мы определим как наименьший многоугольник, содержащий точки По Э г 0,1,. Мы будем искать приближенное

решение В По в виде

Ы Ууд, х о
где к некоторые константы, базисные функции. Далее мы будем считать, что щ зависит от щ щ ип. Мы будем строить Щ таким образом, чтобы оно аппроксимировало решение исходной задачи 0. По Полагая
ио гхоо X

мы можем получить соотношения вида

о X 0. Р константы, зависящие от координат точек 0,1,2и коэффициентов уравнения 7. По . Точность построенной разностной схемы 0. Предположим, что значения щ П, заданы точно, т. Лж, СН1к. В первом параграфе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Построено семейство разностных схем повышенных порядков точности. Эти схемы, в отличие от метода конечных элементов, сводятся к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Построен новый тип разностных схем для уравнений с малым параметром при старшей производной. Во втором параграфе рассмотрены уравнения эллиптического типа. Показано, что рассматриваемый подход позволяет строить как известные разностные схемы, так и схемы с заранее заданными свойствами. Кроме того рассмотрены разностные схемы на не регулярных сетках. На приведенных численных примерах зарегистрирован эффект суперсходимости. Я евклидово пространство размерности п с точками х ад,. Г. Для производной в направлении внешней нормали используется обозначение дьи. Ь 6 , . Ь Ьг Ь1,. А а, матрица п х п с элементами , г, 1, . А аг интервальная п х п матрица с элементами а,, г, 1, . Н, пространство всех интервальных векторов размерности п с элементами Ь Ьь. Ьп, х х1,.