Численные методы решения операторных уравнений в условиях неопределенности

• Автор: Штаркман, Анатолий Абрамович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 97 с.

Введение.

Глава 1. Трегуляризация нелинейных операторных

уравнений.

1.1. Основные определения

1.2. Метод Трегуляризации

1.3. Об устойчивости Трегуляризованного решения

1.4. Приложение.

Глава 2. Конечномерные аппроксимации Трегуляризованных решений

линейный случай

2.1. Основные определения.

. Метод Ьрегуляризации в линейном случае

2.3. Сходимость конечномерных аппроксимаций в методе
регуляризации
Глава 3. Численные методы решения интегральных уравнений
3.1. Метод регуляризации Л.II. Тихонова пго порядка
при решении интегральных уравнений
3.2. Конечноразностная аппроксимация метода регуляризации А.Н. Тихонова пго порядка.
3.3. О полноте последовательности конечноразностных операторов.
3.4. О сходимости конечноразностиых аппроксимаций.
3.5. Принцип минимальных невязок
3.6. О сходимости приближенных решений с параметром, выбранным по принципу минимальных невязок
Глава 4. Численные методы определения
энергетического спектра бозесистемы по термодинамическим функциям.
Цитированная литература.
Введение


Л. Агеева и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики. В теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления. I. Теория регуляризуемости. В ней решается проблема существования хотя бы одного регул яри зующего алгоритма. Общая проблематика этого направления связана с исследованиями В. А. Винокурова , Л. Д. Менихеса и других математиков. II. Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность второе фундаментальное направление. При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных оценок погрешности методов, а также построения оптимальных или близких к ним методов для решения данного класса задач. Это направление, возникшее в работах В. II. Страхова , нашло свое развитие в работах многих математиков, см , , , , . В рамках этих исследований было замечено, что при численном решении конкретных задач, оптимальные методы не всегда дают желаемый результат. Причины этого кроются в неоправданной сложности оптимального метода или недостаточном учете исходной информации задачи. Кроме того, неудачная аппроксимация задачи может существенно снизить реальную точность метода. Эта проблематика, связана с третьим основным направлением. III. Построение специальных численных методов решения некорректных задач. Отправной точкой этого направления являются работы А. Н. Тихонова , В. К. Иванова и М. М. Лаврентьева . В основу этого направления было положено численное решение конкретных задач математической физики. Особо здесь следует отметить класс задач, в которых искомое решение имеет сложную структуру, а также задач на определение тонкой структуры решения, играющих важную роль в физике твердого тела, см. К этому направлению примыкают исследования настоящей работы. В ней решаются два основных вопроса. Первый из них связан с обоснованием достаточно широкого класса методов,конечномерной и конечноразностной аппроксимации, второй с выбором параметра регуляризации, позволяющим выявлять тонкую структуру решения. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Во введении дан краткий исторический экскурс в теорию некорректных задач и ее использование при построении численных методов. Первая глава посвящена обобщению метода регуляризации на достаточно широкий класс нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Первые работы в этом направлении принадлежали А. Н. Тихонову , в них был предложен метод регуляризации пго порядка для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Затем В. А. Морозовым и Н. Н. Кирсановой в метод регуляризации пго порядка был обобщен на класс линейных неограниченных операторов, удовлетворяющих условию дополнительности. Это обобщение было названо Трегуляризацией и в дальнейших иссле
дованиях широко использовалось в работах многих авторов, см. В настоящей работе сделана попытка обобщить этот метод и идею Трегуляризации на класс нелинейных операторов. Для этого понятие дополнительности было заменено более общим понятием Тполузамкнутости сверху оператора А, которое позволило перенести известные в линейном случае результаты на достаточно широкий класс нелинейных задач. Одна из таких задач приведена в первой главе. Кроме того в разделе 1. Ьрегуляризованных решений. Вторая глава посвящена обоснованию сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений в классе линейных операторов. Впервые необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций были опубликованы В. А.Р. Данилиным в . В этой статье был рассмотрен класс линейных ограниченных операторов, а Ь тождественный оператор. В настоящей работе операторы А и , вообще говоря, неограни чены. При этом найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при независимом возмущении операторов А и Ь, позволившие получить в этом направлении самые общие результаты. Достигнутая в этой главе общность позволила перейти к обоснованию сходимости конечноразностных аппроксимаций в методе регуляризации пго порядка. Решению этого вопроса посвящена следующая глава.