Критерии и алгоритмы проверки асимптотической устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений

• Автор: Матвеева, Оксана Изотовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 117 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава I. Системы разностных уравнений .

1. Матричные ряды Нр .

2. Асимптотическая устойчивость решений

линейных разностных уравнений

3. Асимптотическая устойчивость решений

квазилинейных разностных уравнений

4. Границы изменения параметра

5. Алгоритм для исследования асимптотической

устойчивости решений линейных разностных уравнений.

6. Примеры.
Глава II. Периодические дифференциальные уравнения.
1. Матричные ряды Хр
2. Интегралы Ср.
3. Асимптотическая устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами,
зависящих от параметра.
4. Асимптотическая устойчивость решений
квазилинейных периодических систем с параметрами.
5. Алгоритм для исследования асимптотической устойчивости
решений периодических дифференциальных уравнений
6. Примеры.
Заключение .
Литература


Далее приведен ряд новых оценок, используемых в алгоритмах и при оценке областей асимптотической устойчивости квазилинейных уравнений. Mathematical” на компьютере. Завершаются главы примерами расчетов. Нумерация формул и теорем ведется в каждой главе в отдельности и имеет вид (&, /), где к — номер параграфа, / — порядковый номер формулы (теоремы) в параграфе к. Х.-+1 = Axi +n 0, q = const. Глава состоит из б параграфов. Ахи i = 0,1,2,. Согласно спектральному критерию нулевое решение системы (0. А лежат в единичном круге {|А| < 1} (см. В силу критерия Ляпунова нулевое решение системы (0. Я - А*НА = С, С = С? Я = Н* > 0 (см. Учитывая явную формулу решения уравнения (0. С = /, критерий Ляпунова можно переформулировать следующим образом: для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (0. А')кАк. При теоретических исследованиях все эти критерии равноценны. Однако при решении конкретных систем вида (0. Действительно, в реальных задачах мы имеем дело с конкретными матрицами А, элементы которых зачастую получаются в результате каких-либо измерений или расчетов. Однако все измерения и практически все расчеты проводятся с погрешностями. Следовательно, матрица А, как правило, несколько отличается от той, которая должна была бы присутствовать в системе (0. С другой стороны, хорошо известно, что задача вычисления собственных значений несамосопряженных матриц является плохо обусловленной, т. Из сказанного следует, что использование спектрального критерия для практического исследования асимптотической устойчивости нулевого решения реальной задачи может приводить к ошибкам качественного характера. Поэтому на практике при изучении асимптотической устойчивости решений системы (0. Ляпунова. Его использование сводится к проверке сходимости матричных рядов вида (0. А. Отметим, что в настоящее время имеются алгоритмы, основанные на этом критерии, позволяющие проводить исследования асимптотической устойчивости на ЭВМ с гарантированной точностью (см. В первых двух параграфах мы рассматриваем еще один способ для практического изучения асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы разностных уравнений (0. А')кАк, 0 < р < 1/2. Если этот ряд сходится, его сумму будем обозначать символом ЯР(А). Матричный ряд (0. А\)~2реІА'еІАсІІ, Р> 0, (0. Если А — ненулевая матрица, то справедливо следующее свойство МОНОТОННОСТИ норм Нр(А). Теорема 1. Если матричный ряд (0. Я,(А)|| > ||Я,(А)||. В следующей теореме содержится один критерий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (0. Теорема 2. Нулевое решение системы (0. Теорема 2. А и основан только на проверке сходимости рядов вида (0. Это связано с ограниченностью разрядной сетки компьютера. Проиллюстрируем сказанное на следующем простом примере из параграфа 6 (см. Очевидно, матричные ряды (0. Я(Л)|| = О(3т), ||Я1/2(Л)|| = О(2т), т . Следовательно, если все расчеты проводятся на компьютере с максимальным машинным числом, равным Ю0, то, например, при а2 = 1 - КГ1 норма ||Я(А)|| фактически выходит за пределы разрядной сетки и для компьютера эта норма равна ’’бесконечности”. Иными словами, если при рассмотрении на компьютере системы (0. А мы воспользуемся критерием Ляпунова, то ничего определенного не сможем сказать об асимптотической устойчивости нулевого решения. В то же время, ||Я1/2(-4)|| « Ю2, т. Поэтому в данном случае возможно проверить на компьютере сходимость ряда (0. Из сказанного вытекает целесообразность разработки алгоритма для проверки на компьютере сходимости матричных рядов вида (0. В пятом параграфе мы даем описание одного варианта такого алгоритма, а в шестом - приводим ряд численных примеров. В третьем и четвертом параграфах рассматриваются квазилинейные системы разностных уравнений (0. Хорошо известно, что если нулевое решение линейной системы (0. Отметим, что для нелинейных систем (0. А именно, если нулевое решение линейной системы (0. Еп решение системы (0. Я — сумма ряда (0. Т(Н) >0 — минимальное собственное число матрицы Я (см. Для решений нелинейной системы (0.