Методы некоммутативной компьютерной алгебры при исследовании некоторых моделей теоретической физики

• Автор: Корняк, Владимир Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 222 с.

Оглавление
Введение о

1 Реализация математических объектов структуры данных и алгоритмы

1.1 Структуры данных и программирование

1.1.1 Связные списки с узлами переменной структуры .

1.1.2 Таблицы

1.1.3 Об организации программ

1.2 Модули, линейные пространства и алгебры

1.2.1 Алгебры и супералгебры Ли .

1.2.2 Алгебры Грассмана и грассмановы мономы

1.2.3 Пространства и алгебры коцепей.

1.2.4 Векторные поля.
1.2.5 Тензорные суммы и тензорные мономы.
1.3 Кольца и поля скаляров.
1.3.1 Кольцо целых чисел поле рациональных чисел
и его алгебраические расширения
1.3.2 Конечные поля
1.3.3 Функции скалярных параметров.
2 Построение конечно представленных алгебр и супералгебр Ли
2.1 Конечно представленные алгебры и супералгебры Ли . .
2.2 Описание алгоритма.
2.3 Описание программы
2.3.1 Работа с программой
2.3.2 Пример инициирующего файла.
2.4 Примеры использования программы.
2.4.1 Супералгебра Ли с параметрами
2.4.2 Бесконечномерная алгебра Ли .
2.4.3 Ряды Гильберта для бесконечномерных алгебр . .
2.4.4 Алгебра инвариантных зарядов в теории НамбуГото замкнутых бозонных струн
2.4.5 Соотношения Ссрра для простых алгебр Ли .
3 Вычисление когомологий алгебр и супералгебр Ли
3.1 Основные определения и свойства когомологий.
3.2 Супералгебры Ли векторных полей
3.3 Алгоритм вычисления когомологий
3.3.1 Описание программы .
3.3.2 Пример вывода программы
Вычисление когомологии ЩБЬе2
3.4 Результаты вычислений.
3.4.1 Алгебры векторных полей со скобкой Пуассона . .
3.4.2 Алгебры векторных полей с антискобкой.
4 Спектральные асимптотики дифференциальных операторов на искривленных многообразиях
4.1 Операторы на многообразиях и разложение
ядра оператора теплопроводности.
4.2 Алгоритм вычисления коэффициентов ДВСГ
4.3 Реализация алгоритма
4.4 Новые результаты
Заключение
Приложения
П.1 Базисные элементы когомологий
я20 и ЯРо20.
П.2 Порождающие базисные элементы
когомологии Я8В1.
П.З Коэффициенты ДВСГ Е2 и Е4 для оператора
Ь4 X на многообразии с кручением
П.4 Коэффициент ДВСГ Еч для неминимального оператора
на многообразии с кручением.
П.5 Коэффициент ДВСГ Е. для неминимального оператора
на многообразии без кручения
Литература


Ми л нор построил первый пример двух различных ри маковых многообразий с одинаковым спектром действующих на них операторов Лапласа [8]. Тем не менее, многие фундаментальные топологические и геометрические свойства многообразий оказываются спектрально определёнными. Задача становится более конструктивной, если изучаются асимптотические спектральные характеристики оператора А. Один из основных методов исследования асимптотических свойств спектров эллиптических операторов был предложен Ж. Адамаром в году (1). Адамар предложил вместо спектральной задачи для больших значений спектрального параметра изучать коротковременные асимптотики ядра оператора теплопроводности А — построенного из эллиптического оператора А порядка 2г добавлением дифференцирования по дополнительно вводимой “временной” переменной V. Ет(х|А^ 2г , I, +0. Коэффициенты этого разложения Ет являются спектральными инвариантами оператора Лив них закодирована информация о топологических и геометрических свойствах многообразия М, в частности, интеграл от коэффициента Еп по п-мерному многообразию М равен индексу Атьи-Зингера оператора А на этом многообразии. Эти коэффициенты находят также многочисленные применения в физике, например, при вычислениях методом перевала (или методом Лапласа) повсеместно возникающих в квантовых теориях поля и статистике функциональных интегралов (эти вычисления приводят к необходимости регуляризации функциональных детерминантов с помощью спектральной С-функции, вычисляемой, в свою очередь, с помощью приведенного выше разложения). Для некоторых типов операторов существуют достаточно эффективные методы вычисления инвариантов Ет, например, алгоритм Б. ДеВитта []. Для современных физических теорий требуются методы работы с операторами высших порядков и. В. П. Гусы-нин предложил более универсальный подход [8], основанный на ко-вариантном обобщении псевдодифференциального исчисления, предложенном Г. Видомом [6]. Этот подход является наиболее универсальным из существующих в настоящее время, позволяя проводить вычисления с большинством типов операторов, встречающихся в современных теориях поля. В соответствии с этим подходом мы разработали алгоритм и реализовали его на языке С [3, 4]. Подход основан на формуле Данфорда. Разлагая амплитуду по степеням однородности волнового вектора, решая рекуррентную систему уравнений для коэффициентов разложения, переходя в этих коэффициентах к пределам совпадения аргументов х и х' и интегрируя эти предельные выражения мы получаем искомые спектральные инварианты Ет. Основная трудность в вычислениях является следствием ковари-антного обобщения фазовой и транспортной функций в подходе Ви-дома: эти функции определяются через соотношения, постулирующие равенство нулю пределов совпадения их высших симметризованных ковариантных производных. Симметризованная ковариантная производная т-го порядка, представляет собой сумму из т несимметризо-ванных производных, содержащих все возможные перестановки дифференцирований. Чтобы получить из условия равенства нулю такой производной необходимые для вычислений иесимметризованные производные нужно привести все //г! Риччи к одному порядку. При этом возникают очень громоздкие тензорные полиномы из тензоров метрики, кривизны (Римаиа-Картана и калибровочной), кручения и их ковариантных производных. Затем, после подстановки этих полиномов в выражения для амплитуды, к этим тензорам добавляются еще и тензорные ноля (и их производные), входящие оператор А. Из-за наличия различных симметрий и тензорных тождеств (Бьянки, циклическое и т. Это очень сложная задача, которая к настоящему времени решена только в некоторых простейших случаях (причём сложность полученных алгоритмов оказывается довольно высокой). Мы используем эвристический подход, который дает хорошие результаты, по крайней мере для порядков спектральных инвариантов, достижимых на современных компьютерах. Нами был получен ряд новых результатов, наиболее важным из которых является полное вычисление коэффициента Е для неминимального оператора (на многообразии без кручения). Этот результат приведен в Приложении П.