Численное моделирование физических процессов в анизотропных средах

• Автор: Мартынова, Татьяна Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 168 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

ГЛАВА 1. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

1.1 Научнотехнические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка со смешанными производными

1.2 Физические особенности жидкокристаллического состояния вещества

1.3 Математическое моделирование прохождения электрического тока через жидкокристаллический раствор

1.4 Краткие сведения об эллиптических уравнениях.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИДИФФУЗИИ СО

СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

2.1 Некоторые сведения из теории матриц
2.2 Разностная аппроксимация задачи
2.3 Обзор по теории итерационных методов.
2.4 Решение эллиптических уравнений второго порядка общего вида итерационными методами ЗОЯ и Б ЗОЯ
2.5 Различные формы записи уравнения конвекциидиффузии и их влияние на сходимость метода ЗОЯ
2.6 Нестационарный треугольный кососимметрический метод.
ГЛАВА 3. РАСЧЕТ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В
АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.
3.1 Особенности расчета концентрации примесей в НЖК при различных внешних условиях
3.2 Неоднородное распределение концентрации при прохождении слабого электрического тока.
3.3 Численные эксперименты для задачи с переменными диффузионными
коэффициентами
Литература


В шестом разделе второй главы рассматривается нестационарный треугольный кососимметрический метод, решается задача минимизации нормы оператора перехода метода, дается формула для нахождения последовательности оптимальных итерационных параметров в случае коммутирующих операторов. Проводится численное тестирование различных треугольных кососимметрических методов (стационарных и нестационарных, со смешанными производными и без них). Представлено сравнение скорости сходимости данных методов. Третья глава диссертации состоит из грех разделов и посвящена применению разработанных методов к расчету распределения примесей в анизотропных средах. Проведенные численные расчеты полностью подтвердили сделанные теоретические выводы. Первый раздел последней главы посвящен описанию особенностей численного моделирования анизотропных сред при различных внешних условиях. Во втором разделе третьей главы решается задача о распределении концентрации и потенциала электрического поля в частном, но часто встречающемся случае - при однородной и гомеотропной ориентации директора, когда молекулы ориентированы перпендикулярно направлению приложенного поля. Рассматривается случай, когда результирующий ток создастся только одним сортом ионов, в то время как ионы противоположного знака в целом неподвижны. Показано, что в данном случае распределение концентрации не является однородным. В третьем разделе последней главы представлены результаты расчетов задачи диффузии - конвекции со смешанными производными при различных переменных (анизотропных) диффузионных коэффициентах. К защите представлены следующие результаты. Предложена методика численного решения эллиптических краевых задач общего вида с краевыми условиями первого и второго рода в широком диапазоне изменения коэффициентов. Доказано, что форма записи уравнения конвекции-диффузии оказывает существенное влияние на сходимость итерационных методов решения СЛАУ, получаемых в результате центрально-разностной аппроксимации исходной задачи. Предложен и исследован нестационарный треугольный кососимметрический метод, основанный на идее разложения только кососиммегричной части исходной матрицы. Решена задача о нахождении спектра оператора перехода метода в случае коммутирующих операторов. Получена формула для нахождения последовательности оптимальных итерационных параметров в этом случае. Проведен вычислительный эксперимент, в котором разработанные методы использованы для моделирования и расчета распределения концентрации в анизотропном растворе при различных (постоянных и переменных) коэффициентах диффузии. Автор диссертации выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю директору ЮГИНФО РГУ, д. Крукиеру Л. А. и благодарит коллектив лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ, в котором была выполнена данная работа. Стационарные задачи теплопроводности и диффузии-конвекции. Многие установившиеся процессы различной физической природы приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных эллиптического типа. Достаточно указать стационарные задачи теплопроводности и диффузии, задачи о потенциальном течении жидкости, задачу о распределении тока в проводящей среде, задачи электростатики и магнитостатики, задачи теории упругости, теории фильтрации и т. Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удается получить лишь в частных случаях. Поэтому нужно уметь решать эти задачи приближенно. В качестве первого примера рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла [] в некотором объёме <7 с поверхностью Г трехмерного пространства х = (х,, х2, х3). Плотность теплового потока равна количеству тепла, протекающего в единицу времени через единичную площадку изотермической поверхности. Напишем уравнение баланса тепла для некоторого объема V, целиком лежащего внутри Є и имеющего поверхность & Пусть внутри объема V имеются источники тепла, распределенные с плотностью/(х), так что Д'х)с/У есть количество тепла, выделившееся в объеме СІУ. Пусть УУп - проекция вектора Ж на внешнюю нормаль п к поверхности 5. К, т. WdS = WmdV. WidivW - /(л:))с/К = 0. Если /(х) и (ІІУІГ - непрерывные функции ТОЧКИ X = (X/, Х2> Хі), то в силу произвольности объема V из (1. IV =/(х).