Экстремальная задача теории квадратур: методы решения и приложения к инженерным задачам

• Автор: Васильева, Евгения Геннадьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 103 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Линейные и периодические функционалы погрешности

1.1. Пространства IVЕп, Ита,6, ЬЕп

1.2. Общий вид функционала погрешности

1.3. Оптимальный периодический функционал погрешности 1.4. Оптимальный периодический функционал погрешности

в пространствах Ь и Ь

1.5. Общий вид периодического функционала погрешности

ГЛАВА 2. Оценка норм функционалов погрешности и построение квадратурных формул 2.1. Квадратурные формулы с регулярным симметричным

пограничным слоем

2.2. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы

с пограничным слоем при четном т.
2.3. Построение формулы с симметричным пограничным
слоем при ш 4
2.4. Квадратурные формулы с переменным шагом
2.5. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным
пограничным слоем в Ь
2.6. Оценка снизу функционала погрешности в Ь.
ЛИТЕРАТУРА


ГЛАВА 1. Оптимальный периодический функционал погрешности § 1. ГЛАВА 2. Оценка норм функционалов погрешности и построение квадратурных формул § 2. Оценка снизу функционала погрешности в Ь™. В некоторых методах в эту линейную комбинацию включаются еще и значения производных подынтегральной функции во всех или некоторых из рассматриваемых точек. Эта область математики давно уже превратилась из набора отдельных формул для вычисления отдельных интегралов в дисциплину, тесно связанную с другими разделами: функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, математическим моделированием, теорией функций, алгеброй, теорией чисел. Быстрые темпы совершенствования вычислительной техники приводят к возможности решать все более сложные задачи, требующие увеличения объема памяти и скорости вычисления, во многих областях деятельности людей - научной, технической, организационной и т. При больших численных расчетах становится полезным оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла, и если вычисления производятся с помощью квадратурных формул, то оптимизировать и сами формулы. Требуют, чтобы узлы и коэффициенты С7 не зависели от выбора функции f(x) из рассматриваемого класса функций. Целью диссертационной работы является построение различных квадратурных формул , доказательство их асимптотической оптимальности , нахождение асимптотического выражения оценок функционалов погрешности,а также применение построенных формул к инженерным задачам. Сама погрешность как разность между неизвестным точным значением интеграла и его приближением является вполне определенной числовой величиной. Иными словами, отображение I : X —> Я, ставящее в соответствие каждой функции <р из множества X числовое значение погрешности < /, <р > данной квадратурной формулы, будет представлять собой некоторый функционал. Из того, что функционал < 1,р > линеен ,т. X основных функций. Ь). Сур(ху) = Е [ 4х - х7)(р(х)йх = ? Ь)П = ? Ь)(х)Мх)) = / [? Е С-(Х ~ Ху)]<р(х)<1х. Функцию р считаем принадлежащей банахову пространству В. Такая функционально-аналитическая постановка была впервые предложена академиком С. Л.Соболевым. II - — Kf(g. У)! Пусть X = {х7, 7 = 1,2,. Р = {С7, 7 = 1,2,. Лг}-коэффициенты квадратурной формулы, (X, Р)-совокупность узлов и коэффициентов формулы. C7, N) =d (? C7,iV). Отыскание минимума (7) по ж7, С7 называют экстремальной задачей теории квадратур. X, Р, Лг) 6 Р* и для любого функционала l{a,b)(xi X, Ю ? Узлы и коэффициенты с7 называются соответственно асимптотически оптимальными. Е C? СХОДИМОСТИ (То- Если для любой LA <р с порядком сходимости а выполняется условие gq > а, то формула Lq называется асимптотически оптимальной по порядку сходимости над пространством В. Пусть некоторый функционал 1(х) ? Множество всех таких функционалов обозначим R(L, А, т) . Построим решетку Г = {/г/3, ? Z},покрывающую все пространство Е. Эт& решетка частично попадает внутрь интервала (а, 6), а частично лежит вне его.