Оператор Шредингера с однородным магнитным полем, возмущенный периодической цепочкой точечных потенциалов

• Автор: Костров, Олег Геннадьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 162 с. : ил

Оглавление

Обозначения .

Введение

Глава 1. Предварительные результаты

1. Вспомогательные сведения о трехмерном операторе

Шредингсра с магнитным полем

1.1. Оператор Шредингера с магнитным полем оператор Ландау в пространстве 2К3 .

1.2. Спектр а обобщенные собственные функции оператора Ландау.

1.3. Свойства функции Грина оператора Ландау

2. Группа магнитных трансляций и ее дискретные подгруппы

2.1. Группа магнитных трансляций

2.2. Дискретные группы магнитных трансляций ИГ
3. Вспомогательные сведения о точечных возмущениях .
Глава 2. Возмущение трехмерного оператора Ландау периодической цепочкой потенциалов нулевого радиуса спектральные свойства
1. Возмущение оператора Ландау потенциалом, периодическим относительно одномерной решетки разложение в прямой
интеграл
2. Построение точечных возмущений оператора Ландау
3. Функция Грина возмущения оператора Ландау в слое разложения
пространства состояний в прямой интеграл .
4. Спектральный анализ возмущенного оператора в слое
4.1. Спектральный анализ оператора др в случае параллельного цепочке потенциалов .магнитного поля.
4.2. Спектральный анализ оператора Ндр в случае наклонного
к цепочке потенциалов магнитного поля
4.3. Свойства симметрии законов дисперсии, связанные
с симметрией цепочки .
5. Спектральный анализ возмущенного оператора НА .
6. Численное исследование законов дисперсии и плотности
состояния углеродных нанотрубок.
Глава 3. Рассеяние на цепочке точечных потенциалов в присутствии однородного магнитного поля
1. Случай параллельного цепочке магнитного поля
2. Рассеяние на цепочке точечных потенциалов в наклонном
магнитном поле .
Заключение
Приложение .
Список использованных источников


Пространство состояний заряженной частицы в цепочке точечных потенциалов, находящейся в однородном магнитном поле, разложено в прямой интеграл по неприводимым представлениям дискретной подгруппы группы магнитных трансляций (точнее говоря, по группе окружности или но одномерному тору квазиимпульсов). В теореме 2. В третьем параграфе в явном виде найдена функция Грина возмущенного оператора, этот результат описывает теорема 2. С помощью полученной формулы для функции Грина в четвертом параграфе проведен исчерпывающий анализ спектра исследуемого гамильтониана при фиксированном квазиимпульсе (то есть анализ спектра гамильтониана в слое разложения). Доказано, что в зависимости от направления магнитного поля по отношению к цепочке спектр гамильтониана в слое имеет различную структуру. В теореме 2. Нл(р) является чисто точечным и состоит из двух бесконечных частей. Ландау, изменение которых обусловлено наложением квазипери-одическнх краевых условий вдоль цепочки. В теореме 2. Ил(р) также состоит из двух частей. Непрерывная часть заполняет луч, началом которого является нижний уровень Ландау. Дискретная часть представляет собой конечное число уровней, лежащих ниже края непрерывного спектра. В теореме 2. В пятом параграфе проведено полное исследование структуры спектра возмущенного гамильтониана Яд. Результаты этого исследования изложены в теореме 2 Доказано, что спектр имеет зонную структуру с конечным числом зон, причем в спектр входит луч, началом которого является нижний уровень Ландау. Ниже этого уровня лежит конечное число зон, возникающих при наложении точечного возмущения. Эти зоны могут перекрываться и налагаться на вышеуказанный луч. В шестом параграфе полученные теоретические результаты были применены для исследования нижней зоны законов дисперсии электрона в цепочке потенциалов нулевого радиуса. С помощью численного решения найденного в явном виде дисперсионного уравнения были построены графики дисперсионных кривых и плотности состояний для цепочек с симметриями типа “кресло” (4, 4), “зигзаг” (6, 0) и для цепочки с “хиральной” симметрией (4, 1). Численно исследована зависимость их от величины напряженности магнитного поля и его направления по отношению к цепочке точечных потенциалов. Полученные графические результаты позволили обнаружить особенности Ван Хова. Итак, основными новыми результатами второй главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 2. В работах Ю. Е. Карпешиной [,] изучена задача рассеяния плоской волны ехр(*(Аг,г)) на одномерной периодической цепочке потенциалов нулевого радиуса, лежащей в трехмерном пространстве, в отсутствии магнитного поля. В работе [] были найдены обобщенные собственные функции двух типов: 1) собственные функции типа блоховской волны, бегущей вдоль цепочки, и экспоненциально убывающие при удалении от цепочки; 2) собственные функции, представляющие собой результат рассеяния плоской волны на цепочке. Наличие внешнего магнитного поля, произвольно направленного но отношению к цепочке, приводит к квантованию движения заряженной частицы в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Следовательно, если магнитное поле и цепочка параллельны, то свободное движение частицы возможно только вдоль цепочки, и поэтому собственные функции второго типа исчезают. В первом параграфе главы в теореме 3. М 6 2 найдены два типа обобщенных собственных функций возмущенного гамильтониана ПА. Первые описывают свободное движение частицы вдоль цепочки и экспоненциально убывают при удалении от нее. Они соответствуют функциям второго типа, полученным в []. Функции второго типа представляют собой блоховские волны, локализованные в направлении, ортогональном магнитному полю (или вектору периодов цепочки) и описывающие движение частицы вдоль цепочки. Они соответствуют функциям первого типа, полученным в []. Во втором параграфе в теореме 3. На- Каждая собственная функция представляет собой рассеяную волну, которая является результатом суперпозиции волн, рассеянных от каждого узла цепочки. Блоха при сдвиге на вектор цепочки. Итак, основными новыми результатами третьей главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 3. В заключении кратко повторяются основные полученные результаты.