Метод симплексных покрытий для решения линейных задач оптимального управления

• Автор: Шевченко, Геннадий Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 110 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава 1. Численный метод решения линейной задачи оптимального быстродействия.

1.1. Постановка задачи и геометрическая интерпретация

1.2. Основной алгоритм решения задачи

1.3. Доказательство сходимости основного алгоритма.

1.4. Результаты численного моделирования.

1.5. Модифицированный алгоритм.

1.6. Обоснование сходимости модифицированного алгоритма

1.7. Сравнительный анализ численных результатов

1.8. Обобщение метода на задачу оптимального но быстродействию перевода линейной системы на выпуклый компакт
Глава 2. Численный метод решения линейной задачи минимизации ресурсов
2.1. Постановка задачи.
2.2. Вычислительный алгоритм решения задачи
2.3. Обоснование сходимости
2.4. Вычислительные аспекты метода решения.
Глава 3. Численный метод решения линейной задачи с однородным выпуклым функционалом
3.1. Постановка задачи и предварительные замечания.
3.2. Вычислительный алгоритм решения.
3.3. Доказательство сходимости.
3.4. Результаты численного моделирования.
Заключение
Литература


Задается в качестве начального приближения к оптимальному произвольное допустимое управление u^(t). Решается задача Коши с этим управлением и находится соответствующая траектория x^°t). Используя г^°)(? Коши для сопряженной системы (4). Следующее управление u^-(t) вычисляется из условия максимума гамильтониана x°(t),uyt) по и € U при каждом t G [to,tk]. R обозначен оператор, который ставит в соответствие каждому допустимому управлению u^(t) новое приближение u^s+]t). Процесс продолжают до тех пор, пока последующие приближения не будут отличаться друг от друга в пределах заданной точности. Полученное управление удовлетворяет необходимому условию — принципу максимума Л. С. Понтрягина. Однако, такой процесс не всегда сходится. Для обеспечения сходимости применяется ряд способов. Например, управление u[$~l>(t) определяется из условия максимума но и G U гамильтониана t) не на всем интервале [? Ф5+1)(? Параметр t*s служит для обеспечения сходимости. X = А{1)х + еВ(Ь)и, либо х = е(А(Ь)х 4- В(Ь)и), 0 < е < 1. Постепенно (по шагам) увеличивают е до е = 1, полагая на каждой итерации в качестве начального приближения оптимальное управление для предыдущего значения е. АЛ(«с>(*)), о < д < 1. Параметр выбирают из условия минимума функционала по /? Параметры (^,6*, Д) позволяют обеспечить сходимость итерационного процесса. Методы последовательных приближений, основанные на принципе максимума, менее чувствительны к выбору начального приближения по сравнению с методом Ньютона и его модификациями, но требуют большего объема вычислений. Методы варьирования и перебора траекторий в пространстве фазовых координат. Перебор траекторий производится на некоторой дискретной сетке. Полный перебор на принятой дискретной сетке в фазовом пространстве проводится методом последовательного анализа вариантов или методом динамического программирования. Эти методы позволяют найти абсолютный минимум функционала, по требуют большой памяти ЭВМ и большого объема вычислений в случае достаточно большого числа узлов сетки. Поэтому часто используют другие методы, которые требуют значительно меньшего объема памяти и вычислений, однако обеспечивают лишь локальный минимум. Это перебор в заданной трубке, окружающей некоторую фазовую траекторию. Чтобы снизить объем вычислений, берут достаточно узкую трубку. После нахождения экстремали внутри данной трубки строится новая трубка, окружающая полученную на предыдущем шаге экстремаль, и процесс вычислений продолжается. Другой метод локальных вариаций траектории состоит в следующем. Производится варьирование траектории в дискретных точках, отстоящих на время Д? Если в результате вариации значение функционала уменьшилось, то продолжается движение в этом направлении. Достоинством этих методов является возможность учитывать ограничения на фазовые координаты. Учет ограничений сводится просто к их проверке и к отбрасыванию в процессе перебора, тех траекторий, которые им не удовлетворяют. К недостаткам следует отнести большой объем вычислений, трудность задания опорной траектории, сходимость к локальному минимуму. Среди задач оптимального управления особое место занимает задача линейного быстродействия (см. Исключительный интерес к задаче быстродействия связан с тем, что время перевода управляемой системы представляет большую практическую ценность и в задачах оптимального быстродействия сконцентрированы практически вес принципиальные трудности, возникающие при решении других задач оптимального управления. Для задачи быстродействия получены условия существования и единственности оптимального управления и разработан ряд численных методов решения. Сделаем краткий обзор известных методов решения задач линейного оптимального быстродействия. Одним из первых методов решения поставленной задачи был, по-видимому, метод Нейштадта [9] и Итона [6]. Этот метод называют также методом поворота опорной гиперплоскости. Рассматривается случай скалярного управления (В(1) = 6(2), ф(2)| < 1, где 6(2) — непрерывная функция). Суть метода состоит в следующем. Ф*(т,<оЖт) и(т,'ф(р{)))с1т. Д(2*) = 0.