Математическое моделирование процессов, описываемых уравнениями типа Лиувилля, применительно к теории гравитации и космологии

• Автор: Корнилов, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 105 с. : ил

Оглавление
1 Введение

2 Точные решения уравнений Лиувилля в классе пформ

2.1 Внедиагональное представление оператора Лапласа

2.2 Общая схема построения точных решений.

2.2.1 Классификация решений

2.2.2 Точные решения с рациональными координатными

функциями.
2.2.3 Точные решения с тригонометрическими и гиперболическими координатными функциями

2.3 Примеры построения точных решений.

2.3.1 Уравнения Лиувилля в размерности внедиагокального представления п 3.

2.3.2 Метод погружения в пространство четного числа
измерений п 4.
3 Неоднородная космологическая модель Маджумдара
Папапетроу
3.1 Общие свойства модели.
3.1.1 Пространствовремя МаджумдараПапапетроу .
3.1.2 Ограничения накладываемые на метрику
пространствавремени
3.1.3 Выбор источников гравитационного поля.
3.2 Модель с постоянной амплитудой флуктуаций.
3.2.1 Решение уравнений Эйнштейна.
3.2.2 Динамика Вселенной
ОГЛАВЛЕНИЕа
3.3 Модель с амплитудой флуктуаций, изменяющихся со временем
3.3.1 Решение уравнений Эйнштейна.
3.3.2 Динамика Вселенной
3.4 Нелинейная сигмамодель
3.5 Уравнения движения пробной частицы.
4 Пространственные распределения полей
4.1 Пространственные структуры, описываемые уравнением
Лапласа
4.2 Пространственные структуры, описываемые уравнением
Лиувилля.
А Тензора Эйнштейна и Римана в различных классах метрик
А.1 Метрика МаджумдараПапапетроу
А. 1.1 Тензор Римана .
А. 1.2 Тензор Эйнштейна
А.2 Метрика с постоянной амплитудой возмущений
А.2.1 Тензор Эйнштейна
А.З Метрика с переменной амплитудой возмущений.
А.3.1 Тензор Эйнштейна
Глава 1 Введение
Актуальность


Достаточно точно известен характер материи, которой была заполнена Вселенная на ранних этапах своего развития во время инфляционного процесса. Материя такого типа представляет собой однородное скалярное поле, подобное квантовому вакууму, эффективное уравнение состояния которого имеет вид близкий к так называемому квазивакуумному уравнению состояния: р = —р, где р - эффективное давление, ар- плотность энергии материи. Именно материя с такими свойствами реализует экспоненциально быстрое расширение Вселенной [2, 3]. Кроме инфляционной эпохи современные наблюдательные данные указывают на существование в процессе эволюции эры преобладания излучения, когда Вселенная была заполнена изотропным электромагнитным излучением, имеющим уравнение состояния р — р/3, и эры преобладания вещества, которая соответствует современному состоянию Вселенной (4). Глава 1. О и изотропным планковским электромагнитным излучением с температурой Т ~ 2. К0 (2, 4). Если факт существования инфляционной стадии в истории Вселенной и стадии последующего фридмановского расширения установлены надежно, то сама трактовка перехода с одного режима на другой является важной проблемой всех инфляционных сценариев. Проблема описания перехода расширения Вселенной от одного режима к другому связана с проблемой правильной интерпретации физических свойств материальных полей, заполняющих Вселенную в эти периоды времени, и характеристик фазовых переходов, сопровождающих смену режимов. Таким образом возникает проблема описания космологических моделей с несколькими материальными источниками гравитационного поля, имеющими различную физическую природу. Эта проблема распадается в свою очередь па задачи описания глобальной космологической динамики е различными типами материи и их трансформациями друг в друга в приближении однородной, изотропной и плоской Вселенной и на задачи развития крупномасштабной структуры распределения материи и связанных с ней полей как соответствующих возмущений на фоне глобальной модели Вселенной. С - гравитационная постоянная. Данные уравнения являются отражением того факта, что динамика Вселенной фактически определяется типом материи, заполняющей ее. Это можно проиллюстрировать следующим образом. Перепишем второе уравнение Фридмана (1. Глава 1. И II •^1 < (-! Масштабный фактор а в такой записи выступает в роли радиус-вектора, проведенного из центра сферы, а вторая производная по времени от него эквивалентна ускорению, которое испытывает точка массы М на поверхности сферы. Величина этого ускорения полностью определяется величиной М. При этом выражение (1. Эйнштейновской теории гравитации давление материи оказывает влияние на динамику Вселенной, т. Вселенной. До недавнего времени считалось, что расширение Вселенной в современную эпоху описывается решением ФРУ и масштабный фактор изменяется пропорционально (2/3 (для случая плоской Вселенной к = 0). Однако, результаты наблюдений за сверхновыми типа 1а, проведенные в году двумя группами исследователей [5, 6], показали, что расширение Вселенной на сегодняшнем этапе эволюции происходит не с замедлением, а с ускорением [7|. Для ускоренного расширения Вселенной, согласно уравнению Фридмана (1. М в выражении (1. Глава І. Т.е. Вселенной происходило с ускорением, необходимо доминирование в ней материи, характеризующейся отрицательным давлением. Один из способов введения материи, удовлетворяющей (1. Физический смысл космологической постоянной можно увидеть, если переписать второе уравнение Фридмана (1. Эйнштейном для того, чтобы сбалансировать гравитационное притяжение отталкиванием. Вселенную. Ра = назвали ‘‘энергией вакуума”. Однако, как показывают расчеты |9|, [], если большая часть Вселенной сопротивляется гравитационному притяжению, то невозможно формирование мелкомасштабной структуры Вселенной в прошлом. Эту дилемму можно разрешить, если предположить, что в прошлом эта гипотетическая темная энергия была незначительной, и только с недавнего времени стала доминирующей во Вселенной, т. А-членом менялась со временем, т.