Математические модели одномерных сред с конечными и бесконечными скоростями распространения возмущений

• Автор: Лапин, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 166 с.

Содержание
1. Введение

1.1. Краткий обзор современного состояния вопроса и цель диссертации .

1.2. Сводка полученных в диссертации результатов по обобщенной и гладкой разрешимости обобщенной задачи ВаллеПуссена для вырождающихся систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной.

1.3. Сводка полученных в диссертации результатов по эффекту пограничного слоя

1.4. Примечания.

2. Обобщенная непрерывная разрешимость обобщенной задачи ВаллеПуссена для вырождающихся гиперболических систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной
2.1. Постановка обобщенной задачи ВаллеПуссена для вырождающихся гиперболических систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной

2.2. Локальная разрешимость обобщенной задачи ВаллеПуссена

2.3. Достаточные условия глобального существования и единственности непрерывного решения обобщенной задачи ВаллеПуссена
3. Гладкая разрешимость обобщенной задачи ВаллеПуссена для вырождающихся систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной
3.1. Локальная гладкая разрешимость обобщенной задачи ВаллеПуссена .
3.2. Достаточные условия глобальной гладкой разрешимости обобщенной задачи ВаллеПуссена
4. Эффект пограничного слоя
4.1. Непрерывная зависимость обобщенного решения обобщенной задачи ВаллеПуссена от исходных данных
4.2. Эффект пограничного слоя для вырожденных гиперболических систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной.
5. Примеры и приложения
5.1. Пример эффекта пограничного слоя
5.2. Модель распространения ионов примесей в кристаллической
решетке под действием электрического поля.
Заключение
Литература


Перейдем теперь к изложению результатов, полученных в диссертации. ЬхЛ,и,ь, г 1 1. Ях,Ьи,г, у 1,. V г1,. Г,8г,из,1МЖЛ 1 1 . Начальные и краевые условия для системы 1. А0, 0,0,0 1 1. АД,0 1. Ъ8Ц,Ь , з 1, гг, 1. Д, 7 г и константы С у 1,. М тахг, тах , ги тахгф ц. Ш, а Ро тахРд , Рд, Р 0, Рд 0 некоторые константы, причем а г Рц. Пусть ЕоТ шар го Ро в этом пространстве. Здесь обозначено x v. Щ ПГ . Через обозначим множество функций ,v Е Е0Т таких, что константы Липшица для функции x, x по x и для функции x, vx, по х ограничены сверху величиной 0. Р тххРи, v, Ри 0 Ри x x, v некоторые
константы, причем ах Риу и v. Определение. Локальная разрешимость смешанной задачи. А1. В области , Ро для г 1,. А2. То, Ро Все эти функции ограничены по модулю некоторыми константами Л, Е, Я, С соответственно. Кроме того функции x, го для 1,. АЗ. Существуют неотрицательные, суммируемые на 0,2о и 0. АхЬ,А, Е, Е2Ь, ЯР, Я2, 2х, причем Олх кроме того суммируема в квадрате такие, что почти для всех О, Т0 х е 0, при хиЬг в ЯТ0,Ро, х2,гуги2 6 ЯТ0,Р0, х1,шх Я2Т0,Р0, х2,Ь,и2 е В2Т0,Ро и при х,гих ЯТ0,Р0, х, Ь, ю2 С Р2о, Р0 соответственно для г 1,. Язхиг x,,2 С2хи ш2, 1. А4. Функции Ая,2, го, ,, го, дх,Ь,уо измеримы в области ТТо, Ро, а функции г,гг, , го в области Я2То, Ро для всех г 1,. А5. А6. Функции х,Ь,и,ь x,,v, 3 1,. Ук, для которых Ск ф С. А7. Функции г, 0,гцг 0 при с, 0, а при с пусть , и. А8. Кроме того предположим что квадрат Мг тоже является суммируемой функцией. А9. Функции х оцху г 1, . Лх и ограничены по модулю сверху константой А. Функции , 4 7,, i , , 4 , i , 4 будем предполагать локально липшицевыми по , и с константами ГЬГ2 и В соответственно. Пусть т, и, г . Пусть Т О, Т0. Я не меньше величины Ло при , ш 6 ДДГо, Р0. Теорема 2. При выполнении условий А1А для любых достаточно больших констант О, Н 0 найдется такое, достаточно малое Т 0, То, что в шаре ПЗДТ, , Р существует и единственно непрерывное обобщенное решение задачи 1. Глобальная единственность и существование обобщенного решения. Теорема 2. При выполнении условий А1А в прямоугольнике ПТо может существовать не более одного непрерывного обобщенного решения. Далее, естественно возникает вопрос о возможности построения глобального решения поставленной задачи. Можно строить решение во всем ПТо шагами по , пользуясь при этом на каждом шаге доказанной теоремой 2. Т1 То, то перенесем начальный момент времени в точку . Применив теперь теорему 2. Т2,2. Далее если Т1 Т2 То, то проделаем эту процедуру снова и т. Поскольку с каждым таким шагом величина константы Липшица возрастает, а величина Т обратно про
порционадьиа , то ряд Т1 получается, вообще говоря, сходящимся, и
таким способом мы не сможем исчерпать весь прямоугольник ПТо. Тем не менее, при некоторых дополнительных предположениях о монотонности исходных данных глобальная разрешимость имеет место. Функции ix,, ,vi 1,. В2. Функции тРг ,7г не зависят от и, таким образом можно считать, что константа Г2 0. ВЗ. Функции оДхг 1,. В4. Функции 7i являются невозрастающими, а функции 7 неубывающими функциями . В5. Функции ix, , и,хг 1 ,. Вб. Функции x, гг, г 0 1,. То, оо. В7. Кроме того пусть функция Мт из условия А8 непрерывная. В8. Предположим, что функции А1 , Лг, РЬУ 2, Я, Я2. В9. Пусть для функций г 1,. М удовлетворяет следующему равенству М р, где р 0 некоторая константа. Теорема 2. Пусть выполнены условия А1А и В1В9, тогда обобщенное непрерывное решение задачи 1. П7о, кроме того оно является функцией неубывающей по х. Замечание. Решение строится шагами по , однако в условиях теоремы
2. Тп будет расходящимся и, тем самым, мы сможем исчерпать
весь прямоугольник П7о. А. Функции ъхд м, ,, м,а,я, г 1,. АО. Хг и удовлетворяют условию Липшица по с некоторыми константами Аз и Рз соответственно, а удовлетворяет условию Липшица но с константой 5з и по х с константой 1 и пусть 1 Пусть, наконец, функции аг, , ад, А я, , дг 1,. Л, ш0 1,. Аб, а кроме того предположим, что функции x, ги 1,. А. Частные производные , , , Шщ 1 т 3 1,. Р1. Обозначим Р тахРь Р2, Рз, Р, Е, Р, Р тахР, Р1.