Дискретные задачи оптимального управления

• Автор: Ждид, Майсам Ахмед
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 145 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.

Глава I. Необходимые и достаточные условия оптимизации для

дискретных задач.

1. Принцип максимума в дискретной задаче оптимального управления.

2. Определение сопряженных векторов в дискретной задаче оптимального управления.

3. Формула приращения функционала.

4. Метод динамического программирования.

5. Метод возможных направлений для дискретной задачи оптимального управления.

Глава И. Математические модели использования и сохранения природных ресурсов в условиях индустриализации

1. Модель использования и восстановления ресурсов в условиях индустриализации.

2. Модель использования и сохранения природных ресурсов с учетом инвестиций
3. Билинейная дискретная модель использования природных ресурсов с фазовыми ограничениями
4. Задача оптимального управления процессом рыбной ловли, описываемая дискретной моделью.
Глава III. Задачи оптимального управления процессом рыбной ловли
1. Простая линейная модель оптимального использования восстанавливающихся ресурсов
2. Модель управления процессом рыбной ловли
3. Необходимые условия оптимальности в задаче линейной по управлению
4. Задача об использовании возобновляющихся ресурсов со слабой миграцией.
Литература


Поскольку всегда mml = — max(-/), то любую задачу на максимум можно свести к задаче на минимум. Задача оптимизации конечного состояния. Требуется найти такое управление [й], которое максимизирует (минимизирует) функцию Ф(я9). Например, требуется, чтобы количество продукции в конце периода было максимальным или потери производства — минимальными. Г, m, к =W^q. Задача с фиксированным конечным состоянием. Хо С Rn. Если xq = TV, то есть цель дискретного процесса фиксирована, то ф(х? Ф(N) = const и в минимизируемой функции отсутствует терминальное слагаемое. Х(хч - N)2 + § /„(**,«*, *), (1. Л - достаточно большое положительное число. Задача с суммарным ограничением. Эти ограничения учитывают условия на управление и состояние системы на весь период процесса, например, расход ресурсов за весь период не должен превышать общего запаса и т. Y^gj{xk,Uk,k) < 0, j= 1,ТП. Ограничения типа (1. Х) = z*+3- + gj{xk,uk, к), к = 0,? ТГт. Z0 = °. Л(Л«*,*), ь = 1,9-1. При этом функционал (1. Ф(х<) 4- х1 (1. Дискретная задача оптимального управления является экстремальной задачей в конечномерном пространстве, для которой могут быть введены понятия локального и глобального экстремума (см. Доказательство существования решения базируется на теореме Вейерштрас-са. Используя теорему Вейерштрасса, легко доказать теоремы существования оптимального управления в дискретной задаче (1. Теорема 1. Пусть в задаче (1. Ф(я), /{(. Е /Г, ик Е Пк, о. Тогда оптимальное управление [б] = (? Бели множества IIк задаются неравенствами (1. М, г = 1,г, к = ? ГДе М достаточно большое число. В случае, если в задаче присутствуют ограничения на векторы состояния, важным становится вопрос о существовании допустимого управления. Если допустимое управление в задаче с фазовыми ограничениями существует, то достижимость оптимального управления обеспечивается следующей теоремой. Теорема 1. Если для некоторого значения х° = а существует хотя бы одно допустимое управление, то существует и оптимальное, при этом 1([и) имеет конечное значение. Рассмотрим необходимые условия оптимальности в дискретной задаче оптимального управления. Ф(х? UhcW, к = 0,q — 1, (1. Ф(я), f(x,u, к) непрерывно дифференцируемые функции, Uk, к = 0, g — 1 - компактные множества. Введем следующую систему разностных уравнений, которая определяет набор векторов [р] = (р1,. Система. Заметим, что сопряженная система (1. На последнем шаге для рассматриваемой задачи (1. Н(рк+хк,ик) = (рк+Пхк, пк,к)), к = 0^1. По аналогии с непрерывным процессом назовем ее функцией Гамильтона-Понтрягина. С помощью функции Гамильтона-Понтрягина уравнения (1. Р — Эе* > л. К(и) = {6и: и + єбиєи, 0 < є < ? В этом случае из выпуклости V следует, что точки и--еди будут принадлежать множеству и для любых 0 < е < €. Будем далее предполагать, что конус К {и) выпуклый и содержит внутренние точки (удовлетворяет условиям регулярности). Н{р, х,и) = ^^8и) = Е ^ 8щ, (1. К (и). Г-УЦр-Ф о, (1. Теорема 1. Пусть [д] = (д°,. Н(^хйк) >0, (1. К(йк), к = 0,. При этом оптимальные значения х] находятся из системы (1. Причем, если йк внутренняя точка множества ІІк, то єсть йк Є гпЫ1^} то г^(р*+1, ? К является граничной точкой множества [/*. Е К{чк). Пусть векторы [р] определены на оптимальном процессе согласно (1. Умножая (1. SrM) = (p*,<5F) + , к = 0^=Т. Суммируя равенства (1. SuH(pM,xk,uk), (1. Так как xq оптимальное значение состояния системы на q-ou шаге, то при выполнении (1. Ф(хч) = Ф(х’) - Ф(х9) = > О (1. С К(йк)у к = 0,. Полагая в (1. Пусть ограничения на управления заданы неравенствами (1. Теорема 1. Н(рк+хк,йк) = (рк+ > 0, (1. Ам) <0, j € 7(€fc), А; = 0^Т, (1. Здесь д(й ) набор активных индексов у ограничений (1. Е /й) • • • ? Н(рк+х*,ик) = (рк+/{хкУ,к))} (1. Л: = 1, ? Р _ дхЧ ’ ГЬ — Ч 1, . I . Г(рь+гиь) = /о(®*,*^) + (р*м,/(®А,и*|Ь))| (1. В этом случае условие регулярности (1. Е Й’(й^), Аг = 0, д — 1. Введем множества достижимости Я(х) для системы (1. Я(х) = {г : г = }{х,и,к),и 6 ?