Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике

• Автор: Федоров, Фома Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 290 с.

Содержание
Введение

1. Методы решения дифференциальных уравнений в виде рядов. Краткий обзор

1.1. Метод специальных конструкций рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными подход А.Ф.Сидорова

1.2. Операторный метод.

1.3. Проекционные, вариационные и интегральные методы .

2. Основы граничного метода

2.1. Основная идея метода.

2.1.1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных

2.1.2. Нелинейные дифференциальные уравнения

в частных производных.

2.2. Специальные системы алгебраических уравнений
2.3. Исследование СЛАУ.
2.4. О некоторых рекуррентных соотношениях
2.5. О высших порядках дифференциальных операторов
2.6. Высшие производные сложной функции
2.6.1. Сложная функция от одной переменной . .
2.6.2. Сложная функция от двух переменных . .
2.7. О методах улучшения скорости сходимости рядов
2.8. Дробное дифференцирование и граничный метод
Одномерные линейные задачи теории теплопроводности
3.1. Ограниченная область. Декартова система координат
3.2. О собственных функциях и собственных числах краевых задач.
3.3. Полуограниченная область. Декартова система координат.
3.4. Уточнение граничных условий на радиусе теплового влияния .
3.5. Приближенные решения.
3.6. Цилиндрическая система координат
Одномерные нелинейные задачи теории теплопроводности
4.1. Задачи с нелинейностью Iго рода
4.2. Задачи с нелинейностью Iго рода
Задачи с подвижными границами
5.1. Однофазные задачи. Точные решения
5.2. Приближенные решения.
5.3. Обратные задачи
5.4. Двухфазные задачи
Системы дифференциальных уравнений в частных производных
6.1. Линейные уравнения тепломассообмена
6.2. Нелинейные уравнения тепломассообмена
7. Задачи с переменным направлением времени
7.1. Задача с коэффициентом дпаг при производной
по времени.
7.2. Задача с коэффициентом х2п при производной по времени
8. Математическое моделирование процессов тепломассообмена, обусловленных освоением северных территорий
8.1. Математическая модель размыва мерзлых горных пород .
8.4. Расчет ламинарного пограничного слоя течения
вдоль поверхности магнитного шлюза
Заключение
Литература


К этим исследованиям тесно примыкают работы С. П. Баутина [8-], М. Ю. Козманова [, ], В. М. Тешукова [4, 5]. Данный подход наиболее удобен для решения задачи Коши, в случае краевых задач или смешанных задач Коши он имеет частный характер. В этом можно убедиться, если рассмотреть два типичных примера применения предлагаемого метода. О, /) = А >0, (1. Как и в других работах [], вводится новая неизвестная функция D(u,t) : х = D(utt). Тогда, считая, что Du ф 0, уравнение (1. D,Dl = iiDuu - bDu, 1>Ь>0. Решение уравнения (1. D = (Qti*. После подстановки (1. X = -bai, (1. Ь 1)(г* l)gjb-ffl»+ia/-i+i» к> 1. Так как при а* = 0 jDu(0, <) = 0, что невозможно, то из (1. Cfc. Далее строится класс решений типа (1. Pn(t) не имеет вещественных корней при О < t < <0, причем Pn(t) < 0. Условие (1. Pn(t). Следовательно, в (1. Затем доказывается сходимость ряда (1. Далее рассматривается другой вид задания «i(? О1(0 = Д, = ? Bn(t) от экспоненты e~Ki не имеет вещественных корней в промежутке 0 < t < t. Также доказывается сходимость ряда (1. F полиномиально зависит от переменных м,——. Для представления решений (1. Р(х, t), Q(x, t). Функция P(x,t) или Q(x,t) содержит произвольную функцию от t, что позволяет решать смешанную задачу Коши. Как было уже сказано, здесь основной задачей является задача выбора соответствующих базисных функций Р(х, t). Первое допущение при выборе базисных функций заключается в том, чтобы после дифференцирования Р по х и t частные производные Р были представлены аналогично (1. Я(<,р) = (1. Затем выводятся необходимые и достаточные условия для определения коэффициентов ai. Gt = HpG - GPH. Из выражения (1. Функция f(t) ищется из заданного краевого з'словия. Хотя в работе [] доказана сходимость ряда (1. ВХОДИТ В коэффициенты dk(t). В работах [, 3-5] предложены дальнейшие усовершенствования метода с целью решить смешанную задачу Коши. Например, в [5] предлагается применить ряд (1. При этом за счет специального выбора начальных данных удается выбрать функции Р(х) и Q(x) таким образом, чтобы ряд (1. В работе [6] данный подход применялся в сочетании с модифицированным методом малого параметра, т. Первое слагаемое ищется с помощью данного подхода, при этом за базисные функции взяты тригонометрические функции, а второе слагаемое определяется методом малого параметра. Работы [9, 0, 2] стоят несколько обособленно в том смысле, что в них решение ищется не в виде рядов, а в виде многочленов, т. Установление глубинных связей метода построения специальных рядов с классическими построениями, обоснование и существенное обобщение данного метода изложены в последующих работах школы А. Ф. Сидорова [6, 7, 7, 8], в частности, с помощью метода специальных рядов М. Ю. Филимонов получил решения нелинейных волновых уравнений с неаналитическими начальными данными [7]. Операторный метод. Для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных одним из эффективных методов является так называемый операторный метод. Полученные этим методом частные решения могут быть использованы и для решения нелинейных уравнений в качестве ” координатных” функций. Операторный метод построения частных решений дифференциальных уравнений был предложен С. Ли []. Ли и оказались весьма полезными при решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем различными авторами были развиты теория рядов Ли и их приложения, в частности, для решения уравнений в частных производных. Операторным методом в основном удается решить задачу Коши, что касается краевых и смешанных задач, то операторный метод может быть полезен для решения указанных задач одним из приближенных методов (операционным, вариационным, методом коллокаций и т. В литературе наиболее освещены в основном три подхода. Первый связан с работами Б. А.Бондаренко [-]. Ьу тл Ьх - линейные дифференциальные операторы переменных х = (*! Ьх и Ьу равны, соответственно, целым положительным числам ]) и <7, т. Как показано в [] функции вида (1. Лля определенных операторов в уравнении (1. Е ЫУС'т-1Ц-<-1Ях)Ь^+1д(у), (1. Ц/(х) = 0, Цд(у) = 0.