Точные сверху дифференциальные включения в задачах усреднения

• Автор: Зайчикова, Надежда Анатольевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 89 с.

Оглавление
Введение

1 Усреднение дифференциальных включений

1.1 Основные понятия и классы отображений

1.2 Постановка задачи аппроксимации сверху, известные результаты

2 Построение аппроксимирующего сверху дифференциального включения для задач с полунепрерывной правой частью
2.1 Леммы

2.2 Теорема о построении аппроксимирующего сверху дифференциального включения.

2.3 Примеры построения аппроксимирующего сверху дифференциального включения.

3 О точном сверху дифференциальном включении для задач

с непрерывной правой частью

3.1 Основная теорема.
3.2 Следствия о точных сверху дифференциальных включениях
3.3 Примеры построения точного сверху дифференциального
включения .
4 Анализ одной макроэкономической модели
4.1 Постановка задачи.
4.2 Примеры одно и многопродуктовых моделей .
Заключение
Библиография


В настоящее время теория дифференциальных включений используется в задачах оптимального управления, физики, экономики [6, , , , , , , , ]. Дифференциальные включения являются естественным обобщением дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения как средство описания детерминированных физических процессов использовались еще И. Ньютоном [2, ]. Но такие модели не принимают во внимание некоторую неопределенность в описании различных процессов, неточность задания и неполноту информации о системе. Это особенно характерно для систем, полученных, например, в макроэкономике, социологии, биологии []. Но в отличие от стохастических дифференциальных уравнений дифференциальные включения позволяют описывать динамику системы, не используя вероятностные характеристики модели, что во многих случаях позволяет избежать априорных предположений о таких характеристиках. Аппарат дифференциальных включений является удобным и общим средством для описания недетерминированных процессов. Б первых исследованиях по дифференциальным уравнениям с многозначной правой частью (дифференциальным включениям), которые были проведены С. Зарембой [] и А. Доказанные теоремы не имели в то время применений и были забыты. Своим вторым рождением дифференциальные включения обязаны математической теории оптимального управления. В начале шестидесятых годов появился цикл работ Т. Важевского [, ] и А. Ф.Филиппова [, , ], в которых были получены принципиальные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью, а также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления, что привело к бурному развитию теории дифференциальных включений. Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Обширная библиография этих исследований содержится, например, в [6, 8, , ]. Необходимый для данной работы математический аппарат (элементы выпуклого анализа, теория опорных функций, сведения из теории многозначных отображений) изложен, например, в [4, 5, ]. Многие математические модели описываются дифференциальными включениями. При изучении эволюции моделей, где имеет место медленное изменение параметров, соответствующая формализация приводит к дифференциальным включениям с быстрыми и медленными переменными. В прикладных исследованиях часто основную информацию об эволюционных процессах системы несут медленные движения. Математически это связано с подходящим выбором системы координат. Остальные переменные носят название быстрых. При анализе исходная задача заменяется другой, более простой, которая описывает эволюцию медленных переменных, как правило, на асимптотически большом промежутке времени: Т(//) = [0,1///], [і —> 0. Утверждение о близости решений исходной системы и аппроксимирующей (усредненной) по медленным переменным в промежутке T(/z) принято называть принципом усреднения. В той или иной форме метод усреднения применялся еще основоположниками небесной механики для анализа нелинейных систем, содержащих медленные переменные. К -м годам уже было исследовано значительное число задач нелинейной механики на основании интуитивно ясного подхода аппроксимации медленных движений системы движениями упрощенной, так называемой усредненной, системы. Ван-дер-Поль использовал по существу принцип усреднения для изучения нелинейных проблем в радиотехнике на примере модели лампового генератора []. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными переменными принцип усреднения был доказан H. H.Боголюбовым в -е годы [7]. В работе [] первая теорема Боголюбова [7, , , , , ] была обобщена на случай дифференциальных включений. Эффективные результаты, полученные в прикладных задачах, а главное, актуальные постановки еще нерешенных проблем стимулировали развитие теории усреднения во всех направлениях [1, , , , , , , , , , , , ]. В частности, В. М.Волосов разработал общую схему усреднения, доказал теоремы, дающие строгое обоснование для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными и рассмотрел многочисленные частные случаи.