Проверка гипотез о дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского процесса

• Автор: Токарева, Елена Геннадьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Анжеро-Судженск
• Количество страниц: 141 с. : ил

Содержание
Введение

Глава 1. Проверка гипотез о дисперсии нестационарного некоррелированного шума

1.1 Постановка задачи

1.2 Тест, основанный на обобщенном отношении правдоподобия

1.3 Оптимальная статистика для проверки гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции

1.4 Оптимальный вид функции ф

1.5 Проверка гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции в выборке из независимых случайных величин .

1.5.1 Постановка проблемы

1.5.2 Построение статистик

1.5.3 Частный случай

1.6 Проверка гипотезы о пропорциональности дисперсии нормального гауссовского шума заданной функции
1.6.1 Формулировка задачи
1.6.2 Проверка наличия локального экстремума
1.6.3 Доказательство локального минимума
1.6.4 Окончательный вид статистики
1.6.5 Определение оптимального значения ц
Резюме
Глава 2. Проверка гипотез о соотношениях дисперсий в двух выборках
нестационарного некоррелированного гауссовского шума
2.1 Постановка задачи
2.2 Статистика, основанная на обобщенном отношении правдоподобия
2.3 Построение локально оптимального критерия для проверки гипотезы о равенстве дисперсий
2.3.1 Построение статистики
2.3.2 Нахождение функции рм
2.3.3 Свойства функции 1К
2.3.4 Вид критерия
2.4 Проверка гипотезы о равенстве масштабных множителей в двух независимых выборках
2.5 Оценка коэффициента пропорциональности в отношении дисперсий Резюме
Глава 3. Исследование свойств статистик для проверки гипотез о дисперсиях в случае коррелированных гауссовских процессов
3.1 Модели процесса
3.2 Исследование квадратичного критерия
3.3 Исследование статистики, основанной на обобщенном отношении правдоподобия
3.4 Критерий пропорциональности дисперсии заданной функции
3.5 Свойства статистики, используемой для проверки гипотезы о равенстве дисперсий
3.5.1 Двумерное распределение Коши
3.5.2 Асимптотические свойства статистики при верности гипотезы Н
3.5.3 Асимптотические свойства статистики при альтернативе Н Резюме
Глава 4. Имитационное моделирование предложенных статистик
4.1 Цели моделирования
4.2 Датчики случайных чисел
4.4 Результаты моделирования Резюме
Заключение
Литература


Гипотеза о равенстве дисперсий в двух выборках. Считается, что математические ожидания х/ и у, равны нулю, а дисперсии равны ? ЯД/). Таким образом, дисперсии выборочных значений х1 и у1 - Ох(/) и ЯД/) - меняются от измерения к измерению и вид этой зависимости неизвестен. Я0:У/ = й Ол(')=Оу(0, р Я,: 3/ей А (/) *? Гипотеза о пропорциональности дисперсий. С - некоторая неизвестная константа. Василевской Т. П. [7] и в дальнейшем подробно развитой в работах Е. Е Змевой [-]. Эта идея выглядит следующим образом. Пусть имеется сложная гипотеза Я0 против сложной альтернативы Я,. Для ее построения надо построить статистику Я, обладающую следующими свойствами. Желательно, чтобы статистика 5 при гипотезе Н0 была бы асимптотически нормальной. Тогда процедура вынесения решения имеет вполне естественный вид: если окажется, что 5<С, где С - некоторая константа, то надо принять гипотезу Я0, а если 5>С - отвергнуть ее. Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Проверка выводов об асимптотической нормальности статистик проводилась методом имитационного моделирования на ЭВМ. Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции для случая произвольного процесса. Вид статистики (в классе степенных функций), обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов. Асимптотические свойства всех рассмотренных статистик (сходимость почти наверное и в средне-квадратичном, асимптотическая нормальность) в случае коррелированных гауссовских случайных процессов. Теоретическое значение работы, по мнению автора, заключается в методике построения статистик для проверки статистических гипотез, обеспечивающих максимизацию отношения сигнала к шуму. Автору представляется, что эта методика может быть распространена и на другие задачи. Практическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что предложенные тесты могут быть полезны при обработке экспериментальных данных, касающихся изучения шумов в различных радиодиапазонах. Краткое изложение содержания работы. В первой главе была рассмотрена следующая ситуация: имеется выборка {х1,х2,. Считается, что х{ - независимые нормальные случайные величины с Л/{*,-} = 0. Гипотеза 1. Я0:У/ = й ? Нх : 3/е1,л ? Гипотеза 2. Я0: V/ = « ? Я,: 3/6 и ? С-ДО. С - некоторый неизвестный сомножитель, не зависящий от /. Я0} = 1. Статистика 5 асимптотически нормальна при п -> оо. Приведем результаты. Г ипотеза 1. С = 1 + у + 1п2, у - постоянная Эйлера. К{ = ? Она обладает всеми требуемыми свойствами. В качестве величины, характеризующей мощность статистики, как и в работах Е. Ф0 =1/с7 = 0 . Ф0 =Л/3/8 = 0. О, ^p(x)dx = , -со<х<+со. Н0 : Vi=ln /0) = /о(<). Я,: 3/е 1,и /(/)*/<,(«). V« 1/о(0. Xz? Лг) + Хг? Гипотеза 2. Показано, что, после соответствующей коррекции, эти статистики обладают указанными выше свойствами. Ег-? Для нее при п —> со Ф0 ->-^==- = 0. Во второй главе была рассмотрена следующая ситуация. Пусть имеются две выборки (х]іх2,. УуУ2у-уУп) из ДВУХ независимых некоррелированных гауссовских процессов одного и того же объема. Считается, что математические ожидания х,- и у, равны нулю, а дисперсии равны Эх(/) и ?