Метод взвешенных полных наименьших квадратов в задачах математического моделирования

• Автор: Шевченко, Ольга Петровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 99 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Г л а в а 1. Взвешенный метод полных

наименьших квадратов.

1.1. Формулировка взвешенного ТЪБ метода

1.2. БУБ анализ УТЪБ метода

1.3. Геометрическая интерпретация

V задачи.

1.4. Обусловленность вычислительных

V задач .

1.5. Статистические свойства

V метода .
1.6. Выводы.
Г л а в а 2. Вычислительные аспекты
взвешенного метода полных
наименьших квадратов
2.1. Обзор численных алгоритмов метода
полных наименьших квадратов.
2.1.1. Численные методы и подходы решения задач полных
наименьших квадратов .
2.1.2. Методы решения плохо
обусловленных СЛАУ .
2.1.3. Прямой рекуррентный метод.
2.1.4. Алгоритмы вычисления собственных значений
2.2. Метод расширенной системы
уравнений .
2.3. Выводы
Г л а в а 3. Математическое моделирование процесса растворимости химических веществ
3.1. Формулировка задачи математического моделирования
процесса растворимости .
3.2. Результаты вычислений.
3.3. Выводы
Заключение
Список литературы


Задача линейного параметрического оценивания является достаточно общей для широкого класса научных дисциплин, таких, как теория сигналов, автоматическое управление, теория систем, а также часто возникает при решении различных технических, статистических, физических, экономических, медицинских и других проблем. Впервые метод полных наименьших квадратов был использован для решения задач регрессионного анализа в математической статистике академиком Ю. В. Линником []. В дальнейшем исследованию и применению метода полных наименьших квадратов посвящены работы российских ученых В. В. Федорова, А. И. Жданова [8, ], A. B. Крянева [], а также известных зарубежных ученых Дж. Голуба (G. Golub) [ - ], Ван Лоана (С. Van Loan), Ван Хаффеля (S. Van Huffel), Д. Вандевейла (J. Vandewalle), М. Кендалла, А. Стьюарта []. Это хорошо известно даже на примере использовании обычного метода наименьших квадратов [, ]. Однако проблемы, возникающие при применении метода полных наименьших квадратов в условиях неоднородных ошибок в исходных данных существенно сложнее соответствующих проблем, возникающих в обычном взвешенном методе наименьших квадратов. Поэтому актуальной на сегодняшний день является разработка эффективных численных алгоритмов для взвешенного варианта метода полных наименьших квадратов, предназначенного для решения задач математического моделирования в условиях неоднородности ошибок в исходных данных. Цель диссертационной работы заключается в исследовании взвешенного варианта метода полных наименьших квадратов, позволяющего решать задачи математического моделирования и линейного параметрического оценивания в условиях неоднородных ошибок в исходных данных и разработке эффективных численных алгоритмов решения этой задачи. Исследована обусловленность вычислительной VTLS - задачи. На основе сингулярного анализа сформулированной задачи был получен критериальный вид для задачи взвешенных полных наименьших квадратов. Исследованы условия существования и единственности решения задачи взвешенных полных наименьших квадратов. Разработан эффективный численный алгоритм для решения УТЬ8 - задачи. Разработан метод математического моделирования процессов растворимости химических веществ, описываемых нелинейными алгебраическими уравнениями в неявном виде. Научная новизна заключается в следующем. Исследован критерий для VTLS - задачи в виде отношения двух положительно определенных квадратичных форм. Получены условия существования и единственности рассматриваемой ? ТЬ8 - задачи. Исследована обусловленность вычислительной ЛРГЬ8 - задачи. Для уменьшения числа обусловленности вычислительной задачи VTLS - метода предложено ее преобразование к эквивалентной задаче решения некоторой совместной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В предположении о стохастическом характере возмущений в исходных данных доказана сильная состоятельность оценок решений, получаемых предложенным ? Т1лЗ - методом. Этот асимптотический (в статистическом смысле) результат подтверждает обоснованность предложенного VTLS - метода. Теоретическая и практическая значимость значимость работы состоит в том, что разработанный взвешенный вариант метода полных наименьших квадратов позволяет решать большой класс задач параметрического оценивания и математического моделирования в условиях сильно неоднородных (по точности) экспериментальных данных. Особую теоретическую и практическую значимость полученные результаты имеют для решения задач регрессионного анализа с ошибками в независимых переменных, играющего основополагающую роль в теории идентификации систем, эконометрике и многих других задачах, связанных с обработкой данных. Полученные в работе теоретические результаты применены для решения задачи идентификации параметров математической модели растворимости химических веществ. Методы исследований. При формулировке и доказательстве результатов в диссертационной работе используются положения линейной алгебры, вычислительной линейной алгебры и современного численного анализа, а также теория параметрической идентификации систем. При разработке программного обеспечения использовался пакет МАТЬАВ (версия 5. Апробация работы. Международной конференции ?