Алгоритмы и методы вычисления первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на единичной двумерной сфере

• Автор: Порецков, Олег Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 107 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения и теоремы.

1.1 Римановы многообразия

1.2 Оператор ЛапласаБельтрами.

1.3 Некоторые вопросы функционального анализа и теории линейных операторов Глава 2. Вычисление первого регуляризованного следа оператора ЛапласаБельтрами

на двумерной сфере с потенциалом из С2

2.1 Оценки числовых рядов

2.2 Оценка третьей поправки теории возмущений

2.3 Основные теоремы.

Глава 3. Вычисление первого регуляризованного следа оператора ЛапласаБельтрами

на двумерной сфере с потенциалом, удовлетворяющем условию Липшица.
3.1 Оценка второй поправки теории возмущений.
3.2 Оценка третьей поправки теории возмущений
3.3 Основные теоремы.
3.4 Вычисление второй поправки теории возмущений.
Заключение
Приложение
Литература


Диссертация посвящена получению формул регуляризованных следов для оператора Т Н- Р в случае негладкого потенциала. Рассмотрены случаи, когда функция р является дважды непрерывно дифференцируемой и когда она удовлетворяет условию Липшица по двум переменным. В этом случае первый регуляризованный след уже нетрудно вычислить, если воспользоваться методом В. А. Садовничего, В. В. Дубровского, предложенным в []. Историография вопроса. Работы Г. Вейля и Э. Ч. Титчмарша явились причиной появления огромного количества работ, связанных с исследованием распределения собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. IИп,і — п{п + 1)1 < сомі. Первый из них - вариационный принцип. Он был существенно развит М. Ш. Бирманом и его школой. Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен, как другие методы, к гладкости коэффициентов, границы области и т. С другой стороны, он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. Второй метод называется резольвентным. Он связан с изучением резольвенты рассматриваемого оператора или другой функции от него с последующим использованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральных асимптотик. Обозначим через N(^) число (с учетом кратности) собственных значений оператора А) не превосходящих Л. Исследованию асимптотического поведения функции ЛГ(А) при |А| —>• оо посвящено большое количество работ. Г. Вейлем [] был получен главный член Л^А) ~ ап^т без оценки остаточного члена. Здесь т - порядок оператора А. Им же была высказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики ЛГ(А) (связанного с граничными условиями, если речь идет о многообразии с краем). Важным шагом на пути обоснования этой гипотезы явился следующий результат Л. М без края. Л -4- +оо. Стандартным инструментом исследования более тонкой структуры спектра является получение формул регуляризованных следов исследуемого оператора. Г(А? Ак(а)) = В(а), (0. А* - собственные числа оператора А, а- Є И, а АДа) и В(а) - явно вычисляемые через характеристики оператора выражения. Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в году И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [], где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. К аналогичным результатам пришел в этом же года Л. А. Дикий [], используя, правда несколько иные методы. Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И. М. Гельфанда [], М. Г. Гасымова и Б. Р.Ф. Шевченко [], А. Г. Костюченко [], В. А. Садовничего [] и многих других. Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов получены В. Б. Лидским и В. А. Садовничим []. Актуальность темы диссертации. Ситуация значительно осложняется при рассмотрении задач, порожденных дифференциальными операторами с частными производными. Это связано прежде всего со сложной структурой спектра. Так например, V. М, за исключением сферы Sn. Здесь Afc,i - собственные числа оператора —А, а /х^і - собственные числа возмущенного оператора. Для Sn показано, что эта оценка может быть улучшена лишь для нечетных р (т. О можно заменить на о только для р = 0. Таким образом, для асимптотического распределения собственных чисел оператора — Д + р получены окончательные результаты. И поскольку, дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра по сути невозможно. При этом даже для обыкновенных дифференциальных операторов, регуляризованные следы являются, вообще говоря, расходящимися, и возникает задача их суммирования. Один из подходов - суммирование следов со скобками - был впервые реализован для обыкновенных дифференциальных операторов В. А. Садов-ничим, В. А. Любишкиным и М. Мартиновичем [],[]. Следующее существенное продвижение в этой проблеме было сделано В. А. Садовничим и В. В. Дубровским, в их работе [] был рассмотрен оператор Лапласа-Бельтрами —Д-Ьр, возмущенный нечетным гладким вещественнозначным потенциалом р на двумерной единичной сфере Б2. В работе [] эта формула была уточнена, а В.