Алгоритмы и программы вычисления инволютивных базисов и их применение для решения систем нелинейных алгебраических уравнений

• Автор: Янович, Денис Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 111 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

1.1 Некоторые методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

1.1.1 Метод интервалов.

1.1.2 Метод гомотопичного продолжения решения

ф 1.1.3 Метод, использующий базисы Грбнера

2 Символьночисленный метод решения систем уравнений на основе инволютивных базисов

2.1 Определения и алгоритмы вычисления.

2.2 Параллельный алгоритм вычисление инволютивного базиса

2.3 Символьное и численное вычисление корней.

2.4 Быстрый поиск делителя Жане

3 Особенности программной реализации
3.1 Представление данных.
3.1.1 Числа
в 3.1.2 Мономы.
3.1.3 Полиномы.
3.1.4 Частичный базис Т и множество продолжений ф
3.2 Схема программного комплекса и форматы файлов
4 Решение уравнения Шредингера с центральным полиномиальным потенциалом
4.1 Ангармонические осцилляторы и проблема их решения .
4.2 Вывод уравнений Магьяри
4.3 Уравнения Магьяри для большой пространственной размерности
4.4 Результаты для полиномиальных потенциалов при различ
ных д .
5 Заключение
0 5.1 Основные результаты полученные в диссертации.
А Таблицы времен исполнения
В Тестовые примеры
В.0.1 аззиг
В.0.2 Ьи1сЬег8 ,
В.0.3 сЬетефи
В.0.4 сЬеткт
В.0.5 ооЬпЗ , , .
В.О.б срс1т5 .
0 В.0.7 сусИсп .
В.0.8 , , .
В.0.9 1е8мп3 ,
В.0. 1еввт ,
В.0. НзсгеЪЗ
В.0. .
В.0. есоп
В.0. ехЬсусп .
В.0. 4
В.0. .
В.0. аЬпсе
В.0. 6Нег9.
В.0. Ьа1гег2
В.0. ЬаиегЗ
В.0. ЬсусПсп .
В.0. Ы4 .
В.0. Ы5 .
В.0. Ые1апп1а1.
В.0.
В.0. Шавк2.
В.0. Шавк3
В.0. Шаз.
В.0. .
В.0. , ,
В.0. кп1 , .
В.0. i .
Ф В.0. , , .
В.0. i
В.0. .
В.О.Зб
В.0. ЗО.
В.0. .
В.0. iii.
В.0. vi.
Литература


Метод интервалов. Определения и алгоритмы вычисления. Символьное и численное вычисление корней. Представление данных. Мономы. Полиномы. Ангармонические осцилляторы и проблема их решения . Основные результаты полученные в диссертации. В.0. В.0. В.0. В.0. В.0. ЬпЗ [, , ]. В.О. В.0. Ис-п []. В.0. В.0. В.0. В.0. В.0. В.0. В.0. Ьсус-п []. В.0. В.0. В.0. В.0. Нег9. В.0. В.0. В.0. ЬсусПс-п []. В.0. Ы4 . В.0. Ы5 . В.0. Ые1апп1а1. В.0. В.0. Шав_к_2. В.0. В.0. Шаз. В.0. В.0. В.0. В.0. Ф В. В.0. В.0. В.О. В.0. ЗО]. В.0. В.0. В.0. Объект исследования и актуальность темы. Системы нелинейных алгебраических полиномиальных уравнений часто возникают в различных областях науки и техники: в построении формул (см. Этих проблем можно избежать, если использовать символьные или гибридные численно-символьные методы решения. Достоверность основных результатов подтверждена строгими математическими доказательствами и многочисленными компьютерными экспериментами, а также сравнением с результатами вычислений программ, разработанными другими авторами. На многочисленных тестовых примерах и в сравнении со специализированными системами компьютерной алгебры Singular [] и Magma [], обладающими самыми быстрыми реализациями классического алгоритма Бухбергера [б] вычисления базисов Грёбнера выявлены преимущества базисов Жане по скорости вычислений. Показана естественная параллелизуемость с высокой степенью масштабируемости алгоритма вычисления базисов Жане. Создан эффективный комплекс программ для численного нахождения корней полиномиальных систем основанный на вычислении ин-волютивных базисов Жане. С помощью разработанного комплекса найдены условия аналитической разрешимости уравнений Шредингера с полиномиальным потенциалом при достаточно больших значениях размерности пространства. Научная и практическая ценность. В диссертации создан комплекс программ позволяющий эффективно решать сложные нелинейные системы алгебраических уравнений со многими неизвестными, которые возникают в различных научных и технических приложениях, таких как робототехника, теоретическая физика, геометрическое моделирование, разработка математических формул, расчет электрических цепей и т. Отдельный модуль для вычисления инволютивных полиномиальных базисов Жане встроен в специализированную систему компьютерной алгебры Singular, созданную в университете Кайзерслаутерна, ФРГ и являющуюся ведущей из специализированных систем, ориентированных на задачи коммутативной алгебры и алгебраической геометрии. Апробация работы. VI международной конференции по применению компьютерной алгебры АСА’, Ст. Недоопределенные и переопределенные системы алгебраических и дифференциальных уравнений» Карлсрус, ФРГ, март . V международном конгрессе по математическому моделированию, Дубна, сентябрь-октябрь . V международной конференции «Симметрии в нелинейной математической физике» Киев,июнь . Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Диссертация содержит 1 страниц, 4 таблицы, 4 рисунка. Список литературы содержит работ, из них 5 на русском, на иностранных языках. Определение 1. Полиномом от многих переменных называется объект /(х1,Х2,. Дх) = ^2°осХа, аа в К{0}. Определение 1. Полиномиальная система F(x) = 0 определяется множеством полиномов F. Определение 1. Для заданной полиномиальной системы I7, х* назовем её решением если Р(х*) — 0. Назовем х* приближенным решением, если оно может быть уточнено с помощью какого либо итеративного сходящегося метода и точным решением, если оно получено с помощью символьных вычислений. Пример 1. Рассмотрим задачу построения квадратурной формгулы для численного интегрирования. Пусть подынтегральная функция /(х) определена па отрезке [а, 6]. Будем аппроксимировать интеграл взвешенной суммой /(/) = ^2гикЛхк)у где Шк - веса, Хк - узлы. Цель - разработать высокоточную формулу, которая интегрирует все полиномы до определенной степени.