Математическое моделирование нормальных распределений на группе SO(3) и сфере S2 методом Монте Карло

• Автор: Боровков, Максим Валентинович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 133 с. : ил.

Оглавление
Введение.
Глава 1. Методы исследования количественного текстурного анализа и нормальные распределения

1.1. Параметризация ориентации отдельного кристаллита.

1.2. Некоторые сведения о группе 3.

1.3. Функция распределения ориентаций

1.4. Экспериментальные подходы к измерению текстуры и полюсные фигуры

1.5. Основная задача текстурного анализа. Мегоды аппроксимации функций распределения ориентаций и полюсной фигуры.
1.6. Основные источники погрешностей при экспериментальном измерении полюсных фигур и восстановлении функции распределения ориентаций.

1.7. Определение нормальных распределений на 3 и их

классификация

Выводы.
Глава 2. Свойства нормальных распределений.
2.1. Основные свойства на 3
2.2. Модель малых случайных вращений.
2.3. Центральная предельная теорема ЦПТ на Б0т и теория Ц Непоследовательностей.
2.3.1. Определения и используедше обозначения
2.3.2. Вспомогательные утверждения.
2.3.3. Теория ЦПТиоследоватсльностей
2.3.4. Построение общей ГЦТГпоследовательноего на БО2.
2.3.5. Построение обшей ЦПТноследовательности на 3
2.3.6. Построение общей ЦПТпоследовательности на ш
Выводы.
Глава 3. Методы вычисления норма льльных распределений
3.1. Метод рядов Фурье.
3.2. Метод аналитических приближений.
3.3. Метод ЦПТпоследовательностей Монте Карло.
3.3.1. Моделирование НР на т.
3.3.2. Оценка скорости сходимости
3.3.3. Примеры вычисления
Глава 4. Применение метода Монте Карло к расчету текстурных характеристик и моделирование погрешностей.
4.1. Вероятностностно статистическая интерпретация пошоспых фигур
4.2. Метод статистического моделирования полюсных фигур, соответствующий их экспериментальному измерению
4.3. Моделирование полюсных фигур без учета симметрии кристаллитов.
4.4. Моделирование погрешностей при вычислении полюсных фигур для нормальных распределений
4.5. Моделирование полюсных фигур и вычисление тензора упругой
податливости поликристалла бериллия.
Выводы.
Заключение.
Список литературы


Впервые построен метод статистического моделирования полюсных фигур, адекватный их экспериментальному измерению. Данный метод основан на применении вероятностно-сеточных методов с использованием равномерных и неравномерных сеток. ПФ интерпретируется при этом как функция плотности вероятности и моделируется методом Монте Карло. Затем вся совокупность реализаций проектируется на сетку разбиения верхней полусферы. В работе использованы несколько вариантов сеток разбиения, которые являются наиболее близкими к сетке экспериментального разбиения. Теоретическое исследование некоторых свойств последовательностей вероятностных мер на группе SO(3) специального вида (ЦГГГ-последоватсльностей), сходящихся к HP на SO(3) с произвольными параметрами. Метод Монте Карло математического моделирования HP с произвольными параметрами на группе SO(3) на основе приближения данного класса распределений с помощью ЦПТ-последоватсльностей. Статистическая модель ПФ5 соответствующая их экспериментальному измерению. Результаты математического моделирования ПФ с применением равномерных и неравномерных сеток в случае поликристаллического образца без симметрии и при наличии гексагональной симметрии составляющих кристаллитов; результаты математического моделирования погрешностей при вычислении ПФ. Основные результаты диссертации были доложены на научных сессиях МИФИ (Москва, , . Обратные и некорректно поставленные задачи” (Москва, ), конференции International Conference of Texture of Materials (Seoul, ). Результаты проведенных исследований изложены в 9 работах (публикации 1, 2, 3, 4, , , , , в списке литературы). Диссертация состоит из введения, 4 глав, 1 приложения и заключения. Работа изложена на 3 страницах. Включает рисунок, 6 таблиц, наименований литературы. Глава 1. В этой главе излагаются основные понятия текстурного анализа как параметризация ориентации отдельного кристаллита в поликристалличрском образце, ФРО и ПФ. Приводятся необходимые сведения о группе вращений (3). Рассматривается формулировка основной задачи количественного текстурного анализа и основные методы ее решения. В заключение главы рассматриваются факторы погрешностей при экспериментальном восстановлении ФРО и ПФ, а также определение и классификация нормальных распределений на (3). Любой ПО есть совокупность определенным образом ориентированных кристаллитов, поэтому математическое описание образца в целом основано на введении некоторых параметров, описывающих ориентацию каждого отдельного кристаллита. В данном разделе рассматриваются различные способы введения таких параметров. Под системой координат далее будет подразумеваться декартова прямоугольная система координат в трехмерном евклидовом пространстве. Свяжем с каждым кристаллитом собственную систему координат К’ (рис. К, связанную с ПО в целом. Как правило, при выборе этих систем учитывается симметрия кристаллита и ПО. К, К’; . Далее везде пространственным распределением кристаллитов мы будем пренебрегать, т. Элементами группы (3) являются ортогональные матрицы третьего порядка с определителем +1. Каждая такая матрица может быть параметризована многими способами. В данной работе используются нижеследующие параметризации g е Б0(3). Рис. Параметризация углами Эйлера [7, ]. K->K = gz(^)K->K = g^(0)К ->К' = ёЛгА где gx(t)>gЛtУ*8z(. ОХ, ОУ и соответственно. Альтернативная параметризация углами Эйлера [, ,]. Гп 2 ? К -> К = gz(a)K -» К = ёу(р)К —>• К' = gz{y)К. К, полученной из исходной после двух поворотов. Параметризация вращения через псевдовектор [7]. Л|-1) и по абсолютной величине, равного углу поворота v. Таким образом, любая матрица g є (3) в данной работе может быть представлена тремя различными способами (1. Лу) = {а,#,/} = (? Применение той или иной параметризации в каждом конкретном случае диктуется соображениями упрощения обозначений и удобством ссылок на соответствующую литературу. Следовательно, любому кристаллиту на основе закона преобразования (1. Далее ориентацией кристаллита будем называть соответствующий ей по закону (1. Б0(3).