Численно-аналитические методы и комплексы программ для анализа моделей классических нелинейных полиномиальных гамильтоновых систем и их квантовых аналогов

• Автор: Уколов, Юрий Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 120 с.

Оглавление
Введение

Общая характеристика работы .

1 Классическая и квантовая модель нелинейной гамильтоновой системы с потенциалом Варбаниса
Введение

1.1 Анализ поверхности потенциальной энергии

1.2 Метод сечений Пуанкаре

1.3 Интегрируемая модель системы Варбаниса в приближении классических нормальных форм БиркгофаГуставсона

1.4 Квантовая модель системы Варбаниса и ее энергетический спектр

2 Алгоритм нормализации автономных нелинейных гамильтоновых систем в подходе ДеприХори
Введение.
2.1 Основы метода ДеприХори в канонической теории возмущений
2.2 Решение основного уравнения
2.3 Описание программы нормализации I
2.4 Примеры выполнения нормализации автономных гамильтоновых систем полиномиального типа.
3 Численноаналитический метод решения двумерного ста
ционарного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе
3.1 Описание метода
3.1.1 Введение.
3.1.2 Постановка задачи
3.2 Применение численноаналитического метода.
3.2.1 Асимптотическое поведение вблизи нуля
3.2.2 Ортогональность и сингулярное разложение .
Список литературы


Объемы обрабатываемой при этом информации не могут превышать возможностей емкости машинной памяти, в процессе вычислений нельзя допускать возникновения не воспринимаемых компьютером слишком больших (малых) чисел, структура алгоритма должна быть достаточно простой и учитывать архитектуру вычислительной системы и т. Только отвечающие этим требованиям вычислительные алгоритмы, позволяют проводить всестороннее численное исследование исходной модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, проводя ее анализ в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию об изучаемом объекте. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также изучение основных их качественных свойств. Последнее важно, прежде всего, для нелинейных объектов, поведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным. Актуальность проблемы. В настоящее время классические нелинейные гамильтоновы системы |] и их квантовые аналоги [—] играют важную роль при описании современных математических моделей физики, таких как модель квадрупольных колебаний сферической поверхности атомного ядра (система Хенона-Хейлеса) |], комбинационного рассеяния света [], двумерного атома водорода (-], движения небесных тел [-] и т. Особенностью динамики таких систем являются сингулярности, аттракторы, хаотические режимы []. Если число степеней свободы превышает 1, оба типа движения возникают в фазовом пространстве большинства известных примеров, таких как стандартное отображение [7], двойной маятник [), система Хенона-Хейлеса [), задача трех тел [) и т. Для исследования подобных нелинейных математических моделей применяются канонические преобразования, аналитические и численные методы. Знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) позволяет получить много информации о регулярных движениях, и то же почти ничего неизвестно о структуре хаотических движений. Важную роль при изучении систем допускающих хаотический режим движения сыграли работы Я. Б. Песина [], А. Джиорджилли [), В. Ф. Лазуткина, К. Симо [) и др. Было показано, что для таких систем характерно наличие гиперболической структуры. Для выявления этого свойства нелинейных динамических систем часто используют отображения сохраняющие площадь (симнлектическис отображения), например, метод поверхности сечения Пуанкаре. При изучении нелинейных гамильтоновых систем в последнее время актуальной проблемой является проблема гак называемого квантового хаоса. Термин «квантовый хаос» нужно понимать как квантовые проявления динамического хаоса [-]. Детальное рассмотрение этого феномена можно найти в книге Ю. Штокмана «Квантовый хаос». Неоценимую роль для изучения динамики нелинейных гамильтоновых систем, а также для построения их квантовых аналогов и вычисления квантовых характеристик играет применение численных методов [] и компьютеров []. Э. Ферми и С. Улама и сейчас достигло такого уровня, что характер процесса трудно представить себе в полной мере без просмотра его па дисплее даже в тех случаях, где могут быть получены формальные результаты. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, сейчас можно выделить в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем и вычисления их квантовых характеристик при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Для анализа некоторой системы дифференциальных уравнений, описывающих реальную систему, компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Систематическое развитие компьютерных исследований является одной из фундаментальных задач этого столетия. Следовательно, разработка дискретных моделей, эффек тивных методов аналитических, численных, а также их синтез (численно-аналитических), и реализация этих методов в виде быстродействующих и «дешевых» программных средств, является актуальной проблемой математического моделирования нелинейной динамики. Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ для анализа динамики нелинейных гамильтоновых систем, аналитических и численных расчетов их квантовых характеристик, а также разработка эффективного численно-аналитического метода решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера и его реализация в виде программы.