Численное исследование устойчивости некоторых физико-технических систем

• Автор: Савенкова, Надежда Петровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 322 с. : ил.

Содержание.
Введение
Глава 1. Исследование устойчивости нестационарных процессов, описываемых дифференциальными операторами с линейным вхождением

собственной функции.

1.1. Вычисление граничных точек комплекс того спектра линейной нсэрмнтовой задачи на собственные значении

1.1.1. Некоторые асимптотические свойства системы дифференциальных уравнений с

.постоянными коэффициентами.

1.Г .2. Алгоритм нахождения граничных точек комплексного спектра

1.1.3 Модификации алгоритма ЛВБ

1.1.4 Численный алгоритм построения кривых устойчивости

на плоскости параметров.

1.2 Нахождение границ спектра обобщенной задачи
на собственные значення.
1.2.1. Алгоритм нахождения границ спектра обобщенной алгебраической задачи на
собственные значения
1.2.2. Численное исследование устойчивости течений Пуазсля и Блазнуса в рамках краевой задачи на собственные значення для уравнения ОрраЗоммсрфельда
1.3 Численное исследование спектра задачи на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра.
1.3.1 Алгоритм нахождения границ спектра симметричной положительно определнной задачи на собственные значения с нелинейным вхождением
спектрального параметра.
1.3.2 Качественное исследование устойчивости в заданном интервале симметричной задачи на собственные значения с нелинейным вхождением
спектрального параметра
У 1.3.3 Локализация спектра задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра.
1.3.4 Алгоритм решения нелинейной задачи
1.4 Численный метод нахождении кусочнонепрерывного спектра
1.4.1. Двумерная задача Шредингера с периодическим потенциалом
1.4.2. Модельная задача для уравнения Шредингера с периодическим потенциалом
1.4.3. Анализ численных расчтов
Приложение к главе 1.
Глава 2. Устойчивость нестационарных процессов, сводящихся к дифференциальным задачам с нелинейным вхождением собственной функции.
2.1 Построение нейтральных кривых устойчивости на двумерной плоскости
параметров
2.1.1.Алгоритм нахождения собственных значений и соответствующих нм функций нелинейной задачи на собственные значения.
2.2.Числсннос исследование нелинейной задачи на собственные значения, имеющей
аналитическое решение
2.2.1.Модельная задача.
2.2.2.Построение разностной схемы
2.2.3.Первый способ аппроксимации нелинейного оператора А2.
2.2.4.Итерационный метод решения разностного уравнения
для несимметричной матрицы.
2.2.5.Результаты тестовых расчетов для несимметричной матрицы
2.2.6.Второй способ аппроксимации нелинейного оператора А
2.2.7.Итерационный метод решения разностного уравнения
для симметричной матрицы
2.2.8.Результаты и их обсуждение для симметричной матрицы.
2.2.9.0бщие замечания к расчетам
2.3.Математическое моделирование стационарного режима распределении
фемтосекундных импульсов в фотонном кристалле
2.3.1.Задача самовоздействия светового импульса в фотонном кристалле.
2.3.2.Построение разностной схемы
2.3.3.Итерационный метод решения разностного уравнения.
2.3.4.Анализ численных расчетов
2.3.5.Численное моделирование солитонов сложной временной формы импульсов фемтосекундной длительности
2.3.6.Условис действительности собственного значения для решения типа солитона
2.3.7.Построение разностной схемы для задачи распространения фемтосекундного импульса в среде с кубичной нелинейностью
2.3.8.Итерационный метод решения разностного уравнения.
2.3.9.Исследование зависимости формы солитона от параметров у и а на примере
первого собственного вектора
2.3Числснные расчеты различных собственных значений и соответствующих им
собственных векторов.
2.3Численные расчты для сеток большого размера
Приложение к главе 2.
Глава З.Исслсдованис устойчивости нестационарных процессов,описываемых оператором НавьеСтокса
3.1.Система дифференциальных уравнений
3.1.1 .Постановка задачи.
3.1.2. Получение двумерной модели
3.1.3. Упрощенная модель.
3.2.Численный метод решения задачи
3.2.1.Метод расщепления по физическим процессам
3.2.2.Численное решение отдельных этапов.
З.З.Анализ численных экспериментов
1.3.1.Модельные расчты
3.3.2.Численное моделирование аварий с растеканием тяжлых газов и жидкостей
3.3.3. Растекание жидкости по неровной поверхности.
3.3.4. Расползание газа по неровной поверхности
3.3.5. Моделирование аварии газопровода
3.3.6.Механика кратсрообразования
Глава 4. Математическое моделирование МГД неустойчивостей в алюминиевом электролизре
4.1.Математическая постановка задачи
4.1.1.Введение основных обозначений
4.1.2.Вывод уравнения давления в среднем слое
4.1.3. Получение уравнения электромагнитной индукции, учитывающего реальную подводку тока к электролизру
4.1.4. Моделирование функции помехи
4.1.5. Полная постановка задачи
4.1.6. Начальные и граничные условия.
4.2. Численный метод решения
4.2.1. Расщепление по физическим процессам.
4.2.2. Разностный метод решения задачи.
4.2.3 Условие устойчивости.
4.3. Анализ численных расчетов
4.3.1. Описание возможностей комплекса вычислительных программ.
4.3.2. Тестовые расчеты одномерный плоский случай.
4.3.3. Тестовые расчеты двумерный случай
4.3.4. Расчеты по данным реальной электролизной ванны
Заключение.
Литература


Силы на границе в электролите заданы равными нулю, потому что плотность тока на границе в электролите есть 0, так как гарнисаж не проводящий. В качестве начальных данных используются результаты расчетов статики магнитного поля и скоростей в средних слоях обеих сред, проведенные на основе параметров конкретной электролизной ванны по методике . В 4. Исследуется условие устойчивости разностных схем для решения уравнения адвекции. Приводятся результаты отладки и численного решения с параметрами, отвечающими натурному эксперименту, полученные при помощи программы, реализующей численный алгоритм решения. В 4. Приводятся результаты расчта границы раздела сред для реальной ванны промышленного производства алюминия. Автор выражает искреннюю признательность заведующему кафедрой вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М В. РАЕН, профессора физического факультета МГУ Рунара Николаевича Кузьмина за помощь в постановке задач и обсуждения результатов автор приносит глубокую благодарность профессору факультета ВМиК МГУ Алексею Владимировичу Гулину за постоянное внимание к работе и ценные замечания автор благодарит заместителя директора ИММ РАН профессора Владимира Фдоровича Тишкина и к. ИММ РАН Андрея Александровича Кулешова за полезные обсуждения результатов работы автор благодарит заведующего лабораторией вычислительных методов в физике факультета ВМиК МГУ профессора Вячеслава Анатольевича Трофимова за совместную работу и постановку задач. Глава 1. Исследование устойчивости нестационарных процессов, описываемых дифференциальными операторами с линейным вхождением собственной функции. Вычисление граничных точек комплексного спектра линейной неэрмитовой задачи на собственные значения. Некоторые асимптотические свойства системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При исследовании устойчивости физических процессов часто ставится задача построения кривых, отделяющих области в пространстве исходных параметров, где существуют решения какихлибо заданных свойств, определяющих устойчивый режим протекания процесса. Разделение пространственных и временных переменных в том или ином виде позволяет свести исходное нестационарное дифференциальное уравнение к задаче на собственные значения, решение которой разностным методом ведт к необходимости нахождения спектра алгебраической задачи на собственные значения и изучения свойств спектра разреженной матрицы в зависимости от величин входных параметров. Рассмотрим квадратную комплексную матрицу А порядка . Пусть ХА множество собственных чисел матрицы Л, и 0 множество номеров ненулевых компонент собственных векторов, отвечающих X. Допустим, что ЯеХ й Яе2 Кс. А с различными мнимыми частями. Обозначим через х вектор общего решения уравнения
Ах, ко. Теорема 1. При выше сформулированных условиях x. А и 1,2
где хп пая компонента вектора решения х уравнения 1. ЩЛ, и нулевые компоненты вектора х исключаются из рассмотрения. Докажем равенство 1. Предположим сначала, что все собственные числа матрицы А различны. Тогда п ая компонента общего решения 1. X, произвольная константа, 0. Из предположения о том, что все собственные числа различны и из условия теоремы следует, что X 0, 2,3,. Тогда при , Следовательно, выполняется равенство 1. Очевидно, что доказательство соотношения 1. X имеется столько линейно независимых собственных векторов, какова его кратность. Случай, когда для кратности к имеется только линейно независимых собственных векторов, где к, подробно рассматривается в работе 1. Аналогично доказывается равенство 1. Допустим, что 1шХ 1т3. Ж Х, п 1,2,. АГ х. Доказательство Теоремы 2 аналогично доказательству Теоремы 1. Если на прямой х ЛеЯ у 7нЯД или х ДеЯ. Я,у в комплексной плоскости есть два к, к , Ы собственных значения 3. А с различными мнимыми действительными частями, то пределы типа 1. Алгоритм нахождения граничных точек комплексного спектра. Для численной реализации можно использовать различные методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Снова допустив, что действительные части собственных чисел матрицы А занумерованы в порядке неубывания, сформулируем Теорему 3.