Разработка и применение метода конечных суперэлементов для решения задач математической физики в неоднородных областях

• Автор: Савенков, Евгений Борисович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 МКСЭ для задачи о скважине

1.1 Основные обозначения .

1.2 Постановка задачи.

1.3 Метод конечных суперэлементов.

1.3.1 Слабые постановки задачи

1.3.2 Построение вариационного уравнения дчя следов

1.3.3 Построение конечномерной задачи

1.3.4 Оценки ошибок для метода БубноваГалеркпна

1.4 Комбинированные аппроксимации метода конечных суперэлементов и конечных элементов
1.4.1 Слабые постановки задачи
1.4.2 Построение вариационного уравнения для следов
1.4.3 Построение конечномерной задачи
1.4.4 Оценки ошибок
1.5 Описание параллельного алгоритма . ..
1.5.1 Особенности реализации
1.5.2 Результаты тестирования алгоритма.
2 МКСЭ для задачи о скоростном скинслое
2.1 Постановка задачи.
2.2 Слабая постановка задачи .
2.3 МКСЭ
Оглавление
2.3.1 Описание метода.
2.3.2 Сборка .
2.3.3 Вычисление матриц жесткости СЭ
2.3.4 Монотонизации.
2.3.5 Линейная монотонизация
2.3.6 Нелинейная монотонизация .
2.3.7 Особенности реализации алгоритма
2.4 Результаты расчетов.
2.4.1 Граничные и начальные условия.
2.4.2 Результаты расчетов
3 МКСЭ для задач теории упругости
3.1 Постановка задачи
3.2 Слабая постановка задачи
3.2.1 Формула Грина
3.2.2 Слабая постановка.
3.3 Специальная слабая постановка.
3.3.1 Операторы Грина и ПуанкареСтеклова
3.3.2 Специальная слабая постановка.
3.4 Построение конечномерной задачи
3.4.1 Построение конечномерной задачи
3.4.2 Построение базисных функций.
3.5 Результаты численного моделирования
3.5.1 Определение упругих параметров для композита с регулярной
структурой
3.5.2 Определение упругих параметров для композит с нерегулярной
структурой
Заключение
Литература


В соответствии с описанным выше подходом метод конечных суперэлементов может рассматриваться как проекционный метод решения этих уравнений, что позволяет использовать при их исследовании известную теорию проекционных методов. Наряду с МКСЭ в работе рассмотрен комбинированный подход, в котором для аппроксимации задачи используется как МКСЭ, так и MIO. В этом случае в расчетной области также выделяется некоторое количество подобластей-суперэлементов, но они уже не покрывают всю расчетную область. В подобластях, занятых суперэлементами, осуществляется переход к рассмотрению следов решения на границах суперэлементов. В части области, не занятой супсрэлементами, используются обычные аппроксимации метода конечных элементов. Такой подход оказывается эффективным в случае, когда решение задачи имеет небольшое количество локальных особенностей и расчет решения вдали от них может проводиться обычными методами и на круиной сетке, шаг которой соизмерим с размером суперэлемента. Внутри суперэлементов, как и ранее, расчет проводится на мелкой сетке, позволяющей хорошо разрешить особенности задачи. В отличие от обычного метода конечных суперэлементов, в этом случае уже не требуется рассчитывать базисные функции суперэлементов в той части области, где решение гладкое. Таким образом, комбинированный подход сочетает достоинства метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов. С одной стороны, он позволяет хорошо разрешить особенность задачи, с другой - менее требователен к вычислительным ресурсам, чем метод метод конечных супсрэлемснтов. При построении оценок приближенного решения для этого варианта метода используется как обычный конечно-элементный подход (в тех подобластях, где используются обычные базисные функции), так и суперэлементный подход (в тех подобластях, где используются суперэлементные базисные функции). Переход от исходной задачи к задаче определения следов осуществляется локально, лишь там, где это необходимо. Отметим, что сведение задачи к задаче для следов для МКСЭ или комбинированного подхода необходимо лишь для построения расчетной схемы и теоретического исследования метода. Это позволяет использовать при обосновании этих методов готовую и хорошо разработанную теорию. С точки зрения алгоритма построения конечномерной задачи эти методы сходны с обычным методом конечных элементов. При построении аппроксимаций МКЭ задача записывается как вариационное уравнение относительно искомой функции. Его решение слабое (обобщенное) решение исходной задачи. Разбиение области на конечные элементы производится на этапе построения аппроксимаций МКЭ для данной задачи, после этапа постановки дифференциальной задачи. Параметр дискретизации в данном случае - шаг А пространственной конечно-элементной сетки, заданной в расчетной области. Приближенное решение сходится к точному в соответствующей норме при /I -у 0. Базисные функции, построенные на этой сетке, должны обладать соответствующими аппроксимирующими свойствами (свойством полноты) при А -» 0. Диаметр конечных элементов стремится к нулю, когда шаг А сетки стремится к нулю. При построении аппроксимаций МКСЭ задача записывается как вариационное уравнение относительно следов искомой функции на границах суперэлементов. Его решение - следы решения исходной задачи на границах суперэлементов. Разбиение области на суперэлементы производится на этапе построения указанного вариационного уравнения. Суперэлементная сетка не является «разностной» в обычном смысле этого слова. Это просто разбиение области на меньшие подобласти. Размеры суперэлементов не меняются при стремлении параметра дискретизации к нулю. Для аппроксимации задачи используется граничная разностная сетка, заданная на границах подобластей-суиерэлементов. Шаг А этой сетки является параметром дискретизации. Приближенное решение задачи сходится к точному, когда А —> 0. Базисные функции, заданные на граничной сетке, должны обладать аппроксимирующими свойствами в подходящем пространстве следов. Сунерэлементиые» базисные функции рассчитываются как точные решения исходной задачи с граничными базисными функциями в качестве граничных условий.