Оценивание погрешности решения линейных некорректных задач на компактных множествах

• Автор: Титаренко, Валерий Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. О сходимости приближенных решений линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах

1.1 Одномерные функции.

1.1.1 Монотонные функции.

1.1.2 Выпуклые функции.

1.1.3 Функции с известными константами Липшица.

1.2 Многомерные функции .

1.2.1 Функции выпуклые или вогнутые вдоль осей координат .

1.2.2 Выпуклые функции.

Глава 2. Общая схема нахождения погрешности решения линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах
2.1 Конечномерная аппроксимация
2.2 Априорная оценка погрешности решения.
2.3 Метод отсечения выпуклых многогранников
2.4 Метод расширяющихся компактов и обратная задача катодолюминесцентной микротомографии .
2.5 Одномерные функции.
2.5.1 Монотонные функции.
2.5.2 Выпуклые функции.
2.5.3 Функции с известными константами Липшица.
2.6 Многомерные функции .
2.6.1 Функции выпуклые или вогнутые вдоль осей координат .
2.6.2 Выпуклые функции.
Глава 3. Примеры решения линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах
3.1 Задача Коши для уравнения Лапласа
3.1.1 Декартова система координат.
3.1.2 Задача Коши в кольце
3.2 Первая обратная задача для уравнения теплопроводности .
3.3 Вторая обратная задача для уравнения теплопроводности .
3.4 Реконструкция симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях.
3.5 Программный комплекс.
Заключение
Список литературы


Здесь Д(ЛДг) = 8ир{<5) - г\ : щ € II, \Лг — од|| ^ 6} — точечная характеристика погрешности для метода Л. Видно, что равномерная оценка погрешности может существовать только на множестве первой категории в Z. Примером множества первой категории является компактное множество в банаховом пространстве. В этом случае можно использовать специальные регуляризирующие алгоритмы для нахождения приближенного решения [,,] и становится возможным построение равномерной погрешности решения. Из написанного выше следует, что равномерная оценка погрешности решения существует только для задач, по своей сути являющимися корректными. Для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения 2^, но и даже оценить скорость его сходимости к точному г. Целью диссертации являются. Коши для уравнения Лапласа. Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректных задач, функционального анализа, выпуклого анализа, • математического программирования. Научная новизна и практическая значимость. Равномерная сходимость приближенного решения к точному для множества монотонных функций впервые доказывается для счетного числа отрезков, не содержащих концы области определения точного решения и его точек разрыва. Также впервые доказывается равномерная сходимость приближенных решений и строятся условия на сеточные значения для функций, выпуклых или вогнутых вдоль осей координат, а также для выпуклых функций на многомерных областях определения. Разработанные в работе алгоритмы оценивания погрешностей решения некорректных задач на компактных множествах могут быть использованы в широких областях (например, в томографии, геофизике, астрофизике, спектроскопии), так как рассматриваемые компактные множества очень часто встречаются при решении обратных задач. В связи с развитием вычислительной техники обобщение использованных ранее методов решения некорректных задач с одномерных на многомерные области определения позволяет численно решать многомерные задачи, решение которых ранее было технически невозможно. Основные положения диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем. Для рассматриваемых функций доказана равномерная сходимость последовательности приближенных решений к точному решению на некоторых подмножествах области определения решения при стремлении погрешностей входных данных к нулю. П С Кп, п ^ 2, и являющейся выпуклой или вогнутой вдоль осей координат (или выпуклой на всем множестве). Предложен и обоснован алгоритм для нахождения неравенств, определяющих множество априорных ограничений на сеточные значения для двумерных выпуклых функций. Предложенный алгоритм применен для нахождения решения и оценки погрешностей в задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях в акустике, в обратной задаче катодолюминесцентной микротомографии, в обратной задаче для уравнения теплопроводности, в задаче Коши для уравнения Лапласа. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре “Обратные задачи математической физики”, проводящемся в НИВЦ МГУ под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы, на конференциях “Обратные и некорректно поставленные задачи” (Москва, факультет ВМиК МГУ, - июня г. Узбекистан, Самарканд, - сентября г. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-». Секция «Физика»” (Москва, физический факультет МГУ, апреля г. Методы оптимизации и их приложения” (Иркутск, Байкал, июня - 1 июля г. Ill-posed and Inverse Problems” (Новосибирск, 5-9 августа г. International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics ” (Япония, Нагано, - февраля г. Inverse Problems: Computational Methods and Emerging Applications” (Institute for Pure and Applied Mathematics, University of California at Los Angeles, Лос-Анджелес, США, 8 сентября - декабря г. Публикации. По теме диссертации опубликовано печатных работы (из них статей в журналах и трудах конференций, 6 тезисов конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.