Оптимальные методы решения интегральных уравнений Вольтерра и их приложения

• Автор: Тында, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 182 с. : ил.

Содержание
Глава I

1 Обзор численных методов решения уравнений Вольтерра

и их приложений

2 Классы функций

3 Вспомогательные утверждения

3.1 Оператор Вольтерра.

3.2 Существование и единственность решения.

3.3 Гладкость решения на классе Сг,70,Т.

Глава II Оптимальные по точности и сложности алгоритмы решения ИУВ

1 Оптимальные методы восстановления функций из классов

0Ггаа, М, 8 П, М, ВДЯ, в п
2 Одномерные уравнения
2.1 Решение уравнений Вольтерра на классе функций М
2.1.1 Обоснование метода
2.2 Решение уравнений Вольтерра на классе функций .
2.3 Уравнения Вольтерра на классе функций УГ 1
2.4 Слабосингулярные уравнения Вольтерра.
2.5 Вычисление слабосингулярных интегралов.
2.5.1 Формула 1
2.5.2 Формула 2
2.6 Метод дискретных вихрей для слабосингулярных уравнений
3 Решение многомерных уравнений Вольтерра
3.1 Описание вычислительной схемы.
3.2 Обоснование метода
4 Сверхсходимость приближенного решения многомерных
интегральных уравнений Вольтерра
5 Решение двумерных слабосингулярных ИУВ
6 Схема распараллеливания
7 Оптимальные по сложности алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра
7.1 Оптимальный алгоритм на классе 7О, М.
7.2 Оптимальный алгоритм на классе В7П.
7.3 Слабосингулярные уравнения
Глава III Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем
1 Двухпродуктовые модели
1.1 Постановка задачи.
1.2 Описание метода.
1.3 Теорема сходимости
1.4 Дискретизация метода
2 ппродуктовые модели
2.1 Постановка задачи.
2.2 Описание метода.
Глава IV Приближенное решение шредингеровских систем уравнений математической экологии
1 Введение
2 Постановка задачи
3 Система хищникжертва
3.1 Описание модели . . .
3.2 Метод сплайнколлокации .
4 Система ресурспотребитель
4.1 Постановка задачи.
4.2 Метод НьютонаКанторовича.
Литература


Немалая сложность заключается и в отсутствии в таких классах функций асимптотически оптимальных квадратурных формул с фиксированными равномерными узлами [1]. Асимптотически оптимальный по точности алгоритм решения уравнений Вольтерра на классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, построен в статье Ю. П. Яценко [3]. Этот результат распространен позже на случай нелинейных уравнений, на случай уравнений с переменной предысторией и на случай систем ИУВ в [2], [1] и [] соответственно. Асимптотическая оптимальность достигается здесь за счет простоты рассматриваемого класса функций. Оптимальные по сложности алгоритмы. Вопрос о числе арифметических действий при решении интегральных уравнений впервые был исследован в статье К. В. Емельянова и А. М. Ильина [], где были рассмотрены уравнения Фредгольма второго рода с гладкими ядрами. В работе И. В. Бойкова [] построены оптимальные по порядку по сложности алгоритмы приближенного решения многомерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода на классах дифференцируемых функций с бесконечным возрастанием модулей производных на границе области. Вопросы оценки сложности решения уравнений Фредгольма с гладкими характеристиками исследованы в работах С. В. Переверзева, К. S. Heinrich [, , , 7], случай слабосингулярных уравнений в рассмотрен в статьях С. В. Переверзева, К. Ш. Макхамова и С. Г. Солодкого [, 2]. Hz+f в гильбертовом пространстве. Полученные результаты затем применены к уравнениям Фредгольма и Вольтерра. Сверхсходимость. В г. I.H. Sloan [4] предложил уточнять приближенное решение операторных уравнений с компактными операторами с помощью специальной итерации. Порядок точности при этом в ряде случаев удваивался. Полученный результат получил название эффекта сверхсходимости. Применительно к интегральным уравнениям второго рода эффект сверхсходимости был исследован в [4]. Позже такой подход дал жизнь отдельному направлению вычислительной математики. Вопросам сверхсходимости численного решения и. Фредгольма методами Галеркина и коллокации посвящены работы [0, 2, 3, 1]; решению и. Вольтерра методом Галеркина — работы [7, 8, 7]; решению и. Вольтерра методом коллокации — работы [2, 8, 3, 8]; интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра рассмотрены в [6]. Некоторые приложения. Модели развивающихся систем. Большой класс задач экономики, экологии, медицины и ряда других областей описывается моделями развивающихся систем, введенными В. М. Глушковым и подробно описанными в []. Основным аппаратом описания моделей развивающихся систем являются системы нелинейных уравнений Вольтерра. Изучению таких моделей посвящены работы [, , , ]. Необходимость численного решения такого рода систем уравнений подчеркивается в [8]. Некоторые численные методы для моделей развивающихся систем построены в [, , , 1]. Шредингеровские» системы уравнений. Я(х,? ЛГ(а;,? Уравнения (1. В отличии от традиционных математических постановок этой задачи, где распространение особей по ареалу рассматривается как диффузионный процесс, эти системы учитывают пространственное взаимодействие между неподвижными объектами популяции, что характерно для популяций растений. Системы подобного рода рассматривались также в [, ]. В диссертации помимо стандартных классов функций Гельдера, Соболева, Липшица используются ряд классов функций с неограниченным ростом производных на границе области. Определение 1. Пусть Q = [ОД1]*, / = 1,2,. W(t)l * (p(t,гУ)Мт-С’ пр. С = 0, если 7 — целое; s = г + [7] + 1, 7 = [7] 4- /х, 0 < /х < 1, С = 1 - М, есл? Замечание 1. При 1 = 1 через Го обозначается точка t = 0. Определение 1. Пусть Q = [ОД]*, I = 1,2,. Q"7(Q,М) обозначим класс функций /(? Н t-tf. Замечание 1. Очевидно, что в одномерном случае (I = 1) классы 0*7(П, М) и Q**7(Qy М) совпадают. Определение 1. Пусть = [О. Т]*, I = 1,2,. Функция /(*1,. А не зависит от |г>|. Определение 1. Пусть = [0,Т]*, I = 1,2,. Функция /($1,. А не зависит от |г? Замечание 1. В одномерном случае (1 = 1) классы В*у() и В** () также совпадают. Определение 1. Пусть О = (0,Т], 0 ^ а < 1. М/(*1,.