Полиномиальные модели, основанные на диаграммах Юнга

• Автор: Павлов, Дмитрий Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 143 с. : ил.

Содержание
Введение

Обзор литературы

0.1. Диаграммы и таблицы Юнга.

0.2. Полиномиальные идеалы и базисы Грбнера

0.3. Полные полиномиальные модели

0.4. Комбинаторика диаграмм Юнга

Глава 1. Приложения диаграмм Юнга к теории базисов Грбнера

1.1. Расширенный универсальный базис Грбнера

1.2. Алгоритм нахождения Е1ЮВ

1.3. Нентеровость отношения редукции.

1.4. Выводы к первой главе
Глава 2. Алгоритмы перечисления таблиц Юнга и мономиальных упорядочений
2.1. Перебор таблиц Юнга
2.2. Перебор конечных выпуклых упорядочений
2.3. Перебор конечных строгодопустимых упорядочений
2.4. Выводы ко второй главе
Глава 3. Диаграммы Юнга и полные полиномиальные модели .
3.1. Полиномиальные модели и биохимические сети
3.2. Полиномиальные модели и планирование эксперимента . .
3.3. Выводы к третьей главе
Глава 4. Вычислительные эксперименты с диаграммами Юнга
4.1. Физические процессы, связанные с диаграммами Юнга .
4.2. Диаграммы Юнга и теория представлений
4.3. Асимптотика типичной размерности неприводимого представления
4.4. Асимптотика максимальной размерности неприводимых представлений .
4.5. Асимптотика случайных диаграмм по Ричардсону .
4.6. Выводы к четвртой главе .
Глава 5. Реализация операций над диаграммами Юнга . .
5.1. Представление данных .
5.2. Список модулей и эксноритруемых функций
5.3. Интерфейсы основных экспортируемых переменных и функций
5.4. Фрагменты программною кода
5.5. Примеры .
Заключение .
Литература


В процессе работы над диссертацией обнаружилось, что алгоритмы комбинаторного перебора диаграмм Юнга, изначально созданные автором для исследования полиномиальных моделей, имеют более широкое применение. В теорию базисов Грёбнера введено понятие расширенного универсального базиса Грёбнера (Е1ЮВ): конструкции, не зависящей от строгого упорядочения мономов. Разработан алгоритм вычисления Е1ЮВ. Доказано несовпадение в общем случае 1ЮВ с Е1ЮВ. Обнаружено явление «сильной ненётеровости» полиномиальной редукции относительно набора полиномов, не зависящее от выбора конкретного полинома для деления. Реализован алгоритм порождения случайных двумерных диаграмм Юнга, распределённых по мере Планшереля. Проведены эксперименты по нахождению мат. Реализован алгоритм порождения случайных ^-мерных диаграмм Юнга, распределённых по мере Ричардсона. Предложен численный метод вычисления предельной формы многомерных диаграмм Юнга, а также численный метод анализа сходимости фронта диаграммы к предельной форме. Научная новизна. Предложен алгоритм нахождения всех полиномиальных моделей динамической системы, имеющих право на существование при полученном наборе результатов измерений. Аналогичный алгоритм предложен для нахождения полною веера полиномиальных моделей, идентифицируемых заданным планом эксперимента. Существовавшие ранее алгоритмы не давали в общем случае полного результата. Введено новое понятие расширенного универсального базиса Грёбне-ра (EUGB) и разработан алгоритм вычисления EUGB. Обнаружено явление «сильной ненётеровости» полиномиальной редукции. Теоретическая и практическая значимость. В руках исследователей (например, микробиологов) должен быть инструмент построения полиномиальных моделей, выдающий полный, а не частичный результат, и такой инструмент был создан в диссертации. Недостатки предыдущих инструментов признаются исследователями в их статьях прошлых лет. Теоретическая значимость проделанной работы заключается прежде всего в том, что разработанные алгоритмы применяются и могут применяться в дальнейшем для установления и проверки различных гипотез из теории представлений и теории базисов Грёбнсра; так, используя метод, предложенный в диссертации, автору удалось найти контрпример к ошибочно доказанной теореме в препринте статьи [5]. Другим значимым теоретическим результатом работы можно считать открытие явления «сильной ненётеровости». Апробация работы. Семинаре по теории представлений и динамическим системам (ГМИ, Санкт-Петербург, ). Научном семинаре в РУДН (Москва, ). Достоверность результатов. Полученные в диссертации результаты обоснованы корректным использованием математических методов вычислительной коммутативной алгебры и комбинаторики. Достоверность подтверждается сопоставлением с результатами, доступными в открытой печати. Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 статьях в рецензируемых журналах [6], рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций. Личный вклад автора. Работы [С, 8, 9] выполнены в соавторстве. Проведении численного моделирования случайных процессов на диаграммах Юнга. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитируемой литературы и трёх приложений. Объем диссертации составляет 3 страницы (из них занимают приложения). Кроме основного текста диссертация содержит рисунка и список литературы из наименований. Данный раздел посвящён истории развития математических методов, предназначенных для исследования полных полиномиальных моделей. Полиномиальные модели, как над конечным, так и над бесконечным полем, применяются для моделирования процессов и явлений из самых различных областей; в данной работе рассмотрены биохимические процессы (см. Мы будем обозначать К[хь . X = {хь . У = /(*1>. К[хи. Среди полиномиальных моделей принято выделять т. Ь € вирр(/). Неполные полиномиальные модели, как правило, не представляют интереса при решении прикладных задач; в диссертации им также не уделяется внимания. Для упрощения нотации, в этой работе мы отождествляем мономы с соответствующими им целочисленными векторами степеней — элементами решётки 2>0. ЛЛ ~ (с*1, а2,.