Математическое моделирование гармонических по времени электромагнитных полей с использованием векторного метода конечных элементов

• Автор: Гельбер, Мария Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 145 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

1.1. Классы задач и математические модели .

1.2. Методы решения

Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННЫЕ

ФОРМУЛИРОВКИ

2.1. Уравнения Максвелла.

2.1.1. Уравнения Максвелла в частотной области

2.1.2. Переход к ДУЧП второго порядка

2.1.3. Уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм

2.2. Функциональные пространства и
вариационные формулировки.
2.2.1. Вариационные формулировки, ориентированные
на ВМКЭ
2.2.2. Задачи с ограничениями и смешанные вариационные формулировки, ориентированные
на ВМКЭ
2.2.3. Потенциальные Апостановки и соответствующие вариационные формулировки .
Глава 3. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ ВАРИАЦИОННЫХ ФОРМУЛИРОВОК
3.1. Векторные конечные элементы
3.1.1. Векторные конечные элементы на тетраэдрах . .
3.1.2. Векторные конечные элементы на параллелепипедах.
3.1.3. Векторные конечные элементы на призмах
3.1.4. Интерполяционные свойства векторных
конечных элементов .
3.1.5. Векторные конечные элементы с точки зрения
теории дифференциальных форм
3.2. Построение базисов конечномерных
пространств.
3.2.1. Скалярный и векторный базисы на тетраэдрах . .
3.2.2. Скалярный и векторный базисы на параллелепипедах
3.2.3. Скалярный и векторный базисы на призмах .
3.2.4. Скалярные и векторные базисы в двумерном случае
3.3. Дискретные аналоги вариационных задач
Глава 4. ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ВМКЭ. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
4.1. Особенности реализации ВМКЭ
4.1.1. Конечноэлементное разбиение
и сеточные структуры данных.
4.1.2. Размерность дискретных аналогов
4.1.3. Структура глобальных матриц и решение СЛАУ .
4.1.4. Описание комплекса программ
4.2. Исследование интерполяционных свойств векторных конечных элементов
4.2.1. Двумерный тест
4.2.2. Трехмерный тест
4.3. Моделирование электромагнитных полей в неоднородных
по физическим свойствам областях
4.3.1. Случай разрывного е в непроводящей области . .
4.3.2. Случай разрывного 7.
4.3.3. Проверка выполнения принципа взаимности . . .
4.4. Моделирование работы высокочастотного каротажного зонда в однородной среде.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Проведено сравнение размерности дискретных задач и заполненности глобальных матриц систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для ВМКЭ и скалярного МКЭ. Исследована структура глобальных матриц и методы решения СЛАУ. Дано краткое описание реализованного комплекса программ. В п. Я(го1)-конформных конечных элементов Неделека 1-го типа 1-го порядка на различных типах геометрических элементов. В п. Основные результаты исследования сформулированы в заключении к диссертации. Достоверность полученных результатов подтверждена результатами экспериментального оценивания порядков аппроксимации построенных вычислительных схем, сравнениями с аналитическими решениями. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №5), Минобразования России (грант №А-2. РФФИ (грант №3) и NWO (грант №7. Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность научному руководителю д. Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института геофизики СО РАН и НП-ПГА «Луч»и лично д. РАН Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией. Глава 1. В последние десятилетия развитие вычислительной техники привело к созданию эффективных математических методов моделирования физических процессов в областях, сложных по физическим и геометрическим характеристикам. Термин «гармоническое по времени поле »используется в физических приложениях для обозначения нестационарного поля, которое изменяется во времени по гармоническому закону с фиксированной угловой частотой ю > 0 []. Эта глава посвящена обзору современных подходов к моделированию гармонических по времени полей. Результаты математического моделирования гармонических по времени полей широко применяются для интерпретации данных физических исследований, а также при разработке различных приборов. В связи с этим, выбор адекватных математических моделей и построение эффективных численных алгоритмов решения соответствующих задач является актуальной проблемой математической физики и вычислительной математики. Данная работа посвящена исследованию аспектов численного моделирования гармонических по времени электромагнитных полей. Использование математического моделирования при проектировании промышленных электромагнитных устройств, таких, как измерительные приборы, трансформаторы, антенны позволяет контролировать оптимальность выбора конструкции и материалов, существенно снижая производственные расходы. В этом случае полагают, что в области моделирования отсутствуют источники, и задача формулируются в виде полной проблемы собственных значений [, , , , 1, 4]. Необходимо отметить, что основная сложность, возникающая при численном решении полной проблемы собственных значений - появление так называемых ложных, или «паразитных»мод [, , 2]. Второй класс задач -моделирование электромагнитных полей гармонических источников для нерезонансных частот. Особенность состоит в необходимости корректного учета источников переменного поля [, ,2, 6]. Кроме того, в связи с тем, что при проектировании промышленных электромагнитных устройств используются материалы с контрастными электрическими и магнитными свойствами, выбранная вычислительная схема должна позволять корректно моделировать поведение полей на границах этих материалов [6]. Характерные частоты, применяемые в таких устройствах варьируются от десятков герц (при индукционном нагреве) до сотен гигагерц (радиолокация, микроволновые печи). Многообразие конфигураций электромагнитных устройств и используемых материалов, привело к созданию методик, учитывающих особенности различных классов приборов [, , 6,3, 6]. Важной задачей вычислительной математики является создание технологий моделирования геофизических процессов. Электромагнитные методы исследования (ЭМ-методы) получили широкое распространение в геофизике для решения разведочных и контрольно-эксплуатационных задач [9, ]. Основная цель ЭМ-методов заключается в возможно более точной оценке удельных электрических сопротивлений пластов []. Одной из актуальных задач является контроль за техническим состоянием обсадных колонн скважин. Для ее решения разработаны электромагнитные дефектоскопы [, , , ].