Математические моделирование некоторых задач теории упругости и пороупругости в существенно неоднородных анизотропных средах

• Автор: Заславский, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. НЕСВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИ БИО ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ В ПОРИСТЫХ И ТРЕЩИНОВАТОПОРИСТЫХ СРЕДАХ

1.1 Математическая модель распространения волн в упругой среде

1.2 Модель Био.

1.3 Обобщение модели Био на случай трещиноватопористой среды

2 КОНЕЧНОРАЗНОСТНАЯ МОДЕЛЬ НА НЕОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕТКАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ. МЕТОД ОПОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ. СХОДИМОСТЬ.

2.1 Интегральные тождества с методе опорных операторов с разрывными коэффициентами.

2.2 Определение метрического тензора.

2.3 Аппроксимация потоков и сильная сходимость.

2.4 Метод опорных операторов в задаче теории упругости с разрывными коэффициентами.

3 КОНЕЧНОРАЗНОСТНАЯ МОДЕЛЬ НА НЕОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕТКАХ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ЗАДАЧАХ С ДВОЙНОЙ ПОРИСТОСТЬЮ. УСТОЙЧИВОСТЬ. СХОДИМОСТЬ.
3.1 Слабосходящийся алгоритм решения параболического урав
ненияс разрывными коэффициентами
3.2 Регуляризованная схема.
3.3 Метод опорных операторов в задаче теории фильтарции . .
4 АЛГОРИТМЫ ОСРЕДНЕНИЯ В ЯЧЕЙКАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ.
4.1 Об алгоритмах осреднения в ячейках для эллиптических краевых задачах.
4.2 Обобщение схемы ауеа.
4.3 Метод ауегаода в задаче теории упругости
4.4 Трехмерная полностью анизотропная задача теории упругости
5 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Даже если бы мы смогли проинтегрировать уравнения движения вязкой жидкости в порах, все равно их расположение в среде нам неизвестно. Так были введены осредненные величины, такие как пористость, давление, проницаемость, скорость фильтрации, а все основные законы формулировались в терминах этих величин. Именно по этому пути пошли сторонники второго подхода. Так была введена модель фильтрации в трещиноватых средах [Барснблатт и др. В связи с вышесказанным представляет интерес построение единой модели фильтрации в трещиноватых средах и эволюции напряжен но-деформированного состояния среды. При этом увеличение давления приводит к появлению сдвиговых деформаций, которые могут стать причиной оползания пород на границе разлома. Такой процесс может спровоцировать сейсмическую активность среды вплоть до техногенного землетрясения. Для описания фильтрации в трещиноватых средах используется модель с двойной пористостью и двойной проницаемостью (Барснблатт и др. Насыщенная среда представляет собой структуру, составленную из пористых блоков и трещин. Если макроскопическое описание пористой среды есть результат усреднения по масштабам большим размеров пор, то для трещиноватых сред вводятся характеристики, являющиеся результатом усреднения по масштабам большим сравнительно с размерами блоков. Отличие развиваемой здесь схемы от обычной схемы фильтрации в пористой среде состоит во введении в каждой точке пространства двух давлений жидкости - давления жидкости в порах и давления жидкости в трещинах -и учета обмена жидкостью между трещинами и порами. При определенных предположениях получается выражение для интенсивности этого обмена. Выводятся основные уравнения фильтрации жидкости в трещиноватой породе и более общие уравнения фильтрации жидкости в пористой среде с двойной пористостью. Таким образом, уравнения фильтрации в трещиновато-пористой среде представляют собой уравнения с двойной пористостью и двойной проницаемостью. Причем, поскольку проницаемость в трещинах очень велика, давление в трещинах устанавливается гораздо быстрее, чем в порах, так что для его описания может быть использовано квазистатическое уравнение. Кроме того, можно предположить, что объем трещин пренебрежительно мал, и, как следствие, можно пренебречь величиной флюидосодержания в трещинах. Гука в модели Био сохраняет свое выражение. В дальнейшем мы используем несвязанный вариант данной модели, предложенный Николаевским []. Хорошо известно, что для земной коры характерна структурная рас-слоенность. Эта расслоенность проявляется в чередовании зон высоких и низких скоростей, областей повышенных и пониженных напряжений. Существует множество примеров предельных случаев, когда фильтрация происходит в достаточно узких областях - разломах. Необходимость учета геологической структуры среды, которая состоит из ряда слоев сложной геометрии, резко отличающихся по своим свойствам, привела к развитию численных методов решения разностных задач на криволинейных сетках, адаптированных к структуре среды. Построение конечномерной аппроксимации задачи на криволинейных сетках может быть осуществлено как проекционными методами, например, методом конечных элементов, так и методом конечных разностей. Если использовать метод конечных элементов с треугольными элементами, то в двумерном случае могут быть получены пятиточечные схемы для ортогональных сеток или семиточечные для неортогональных сеток при соответствующей ориентации прямоугольников. При соответствующем способе аппроксимации источников в такой задаче может быть доказана сходимость алгоритма в метрике Н1. В настоящей работе рассмотрен для данной задачи метод опорных операторов. То есть один этих из операторов определяется вручную (он называется опорным), а другой находится как сопряженный к нему. Можно показать, что данный метод консервативен. Кроме того, разностная схема, построенная этим методом на четырехугольных сетках, переходит в обычную пятиточечную, если все ячейки прямоугольные, но, в отличие от метода конечных элементов на треугольных ячейках, имеет девятиточечный шаблон в общем случае.