Исследование методов моделирования и разработка программного обеспечения для изучения фрактальных свойств системы N тел

• Автор: Дехканбаев, Дмитрий Саттаркулович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 167 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 .КЛАССИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. История изучения искусственных и естественных фракталов

1.1.1. Треугольник Паскаля

1.1.2. Пыль Кантора

1.1.3. Кривые, заполняющие плоскость

1.1.4. Кривая Коха

1.1.5. Салфетка Ссрпинского

1.1.6. Множества Жулиа

1.2. Фракталы, некоторые свойства, примеры

1.2.1. Свойства фракталов
1.2.2. Примеры фракталов в различных науках
1.2.3. Примеры использования фракталов
1.2.4. Построение фракталов
1.3. Фрактальные размерности, определения
1.4. Численные методы определения фрактальной размерности
1.4.1. Плотность стохастических фрактальных структур
1.4.2. Двухточечная условная лучевая концентрация
1.4.3. Метод корреляционных функций .
1.4.4. Сравнение методов анализа распределения галактик
Выводы
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ СТРУКТУР С ЗАДА 1НЫМИ СВОЙСТВАМИ
2.1. Реализация методов построения точечных фракталов
2.1.1. Однородное заполнение
2.1.2. Пыль Леви
2.1.3. Вселенная Фурнье
2.1.4. Бета каскад
2.2. Оценка вычислительной сложности
Выводы
ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ СТРУКТУР
Введение
3.1. Метод объемной условной плотности
3.1.1.рограммная реализация метода объемной условной плотности
3.1.2. Проце1ура нахождения фрактальной размерности с помощью метода объ ем ной условной плотности
3.1.3. Квази обол очечная условная плотность
3.1.4.рименение метода условной плотности к исследованию ДНК
3.2. Метод оболочечной условной плотности
3.2.1. Процедура нахождения фрактальной размерности с помощью метода обо лочек
3.3. Метод цилиндров двухточечная условная концентрация
3.3.1. Сравнение методов условной плотности и цилиндров
3.3.2. Аналитическое исследование метода цилиндров
3.3.3. Программная реализация метода цилиндров
3.3.4. Процедура нахождения фрактальной размерности с помощью метода цилиндров
3.3.5. Изменения в программе, позволяющие считать быстрее
3.4. Ускорение вычислений при работе с точечными структурами. Метод ячеек
3.5. Параллельные вычисления на кластерной вычислительной системе
3.5.1. Основные понятия параллельных вычислений
3.5.2. Используемое программное и аппаратное обеспечение
3.5.3. Распараллеливание используемых алгоритмов
3.6. Оценка погрешностей
3.7. Оценка времени выполнения
3.8. Сравнение методов вычисления фрактальной размерности на тестовых 8 фракталах
Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Использование параллельных вычислительных структур для уменьшения времени выполнения программ, реализующих рассмотренные методы. Аналитическое и численное исследование нового метода вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур — метода цилиндров. Модернизация метода цилиндров для уменьшения времени выполнения и увеличения точности. Комплекс программ для вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур методами условной плотности и цилиндров, а также создания трехмерных точечных структур с заданной фрактальной размерностью и геометрией. Международная научная конференция Новая Геометрия Природы , Казань. Основные результаты работы изложены в публикациях. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем работы без приложений — 0 стр. Во Введении отражены актуальность темы, цель и задачи работы, предмет и методы исследования, научная и практическая значимость работы, научная новизна и положения, выносимые на защиту. В Главе 1 даются основные понятия и свойства фракталов, фрактальной размерности и методы ее нахождения. Приведены примеры применения фракталов и фрактальной размерности в различных областях. На основании этого уточняются терминология и задачи, решаемые в этой работе. В Главе дописываются реализованные методы построения трехмерных точечных структур с заданной фрактальной размерностью. Эти структуры используются в качестве тестовых объектов для исследования методов вычисления фрактальной размерности в Главе 3. Такое исследование проводится впервые. Предложены модификации алгоритмов построения трехмерных точечных фрактальных структур, позволяющее более полно представить возможный спектр исследуемых объектов: модификация алгоритма построения пыли Леви, позволяющая получить регулярные структуры с выделенным центром и предлагается использование подвыборок с заданной геометрией в качестве тестовых объектов. В Главе 3 методы вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур исследуются на тестовых объектах из Главы 2. Впервые проводится исследование нового метода - метода цилиндров и сравнение его с методами объемной и оболочечной условной плотности. Разработаны параллельные версии исследуемых алгоритмов вычисления фрактальной размерности. Предложен метод ячеек, позволяющий уменьшить время выполнения программ за счет предварительной структуризации входных данных. Предложены рекомендации по использованию и настройке каждого метода для более точного вычисления фрактальной размерности. Оценена погрешность при помощи выборочной дисперсии и нормированной пуассоиов-ской ошибки. Предложена модификация метода цилиндров для более точной оценки фрактальной размерности. Вычисленные величины фрактальной размерности трехмерных точечных структур сравниваются с полученными аналитически. В Заключение формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе. Приложение 1 содержит список публикаций автора по теме диссертации. В Приложении 2 приведены тексты основных программ, написанных автором но томе диссертации. Эта глава дает обзор и краткое введение в основные понятия фракталов и способы их исследования, что необходимо для уточнения понятий в связи с не устоявшейся теорией фракталов. В параграфе 1. В параграфе 1. В параграфе 1. Численные методы вычисления фрактальной размерности рассмотрены в параграфе 1. Фракталы (еще не получивших этого названия) появились в математической литературе около трех веков назад. Бенуа Мандельброт отыскал нишу для множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и ввел в употребление термин фрактал. После выхода его книг [, ] число приложений фрактальной геометрии резко возросло. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. В году Блез Паскаль использовал арифметический треугольник (см. Эти исследования привели позже к основанию теории вероятности (). Рис. Арифметический треугольник представляет собой треугольный массив чисел коэффициентов полинома (1 + х)п. Здесь п неотрицательное целое число. Ряд значений п содержит п + 1 элементов.