Зонные системы Делоне как единая модель кристаллических и почти-кристаллических структур

• Автор: Коваленко, Денис Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Великий Новгород
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Введение

Глава 1. Расширение точечных систем

1.1. Точечные и векторные системы

1.2. Локальный и глобальный критерии постоянства

системы Делоне при расширении

Глава 2. Зонные системы Делоне.

2.1. Зонность системы Делоне как признак

ее почтиправильности

2.2. Связь многомерных зонных систем с одномерными.

Глава 3. Одномерные зонные системы.

3.1. Спектр расстояний.

3.2 Одномерные системы Делоне с двумя
несоизмеримыми расстояниями между соседними точками геометрическая интерпретация спектра расстояний
3.3. Геометрические свойства производных.
3.4 Геометрия зонных систем
Заключение.
Библиографический список использованной литературы.
ВВЕДЕНИЕ


Общие системы Делоне, которые представляют собой математическую модель расположения центров атомов в любом атомном образовании плазме, газе, жидкости, аморфном теле, кристалле, нашли широкое приложение в вычислительной математике и физике при вычислении сложных многомерных функций, где иногда общая система Делоне более приемлема, как расчетная сетка, нежели решетка. Затем их стали использовать при разведке нефтяных месторождений для поиска оптимального расположения буровых скважин 4. Но наиболее полного своего применения системы Делоне достигли в кристаллографии и кристаллографической геометрии. Главная особенность кристаллических структур состоит в том, что они составлены из одинаковых частиц отдельных атомов или конечных их совокупностей, которые одинаково окружены другими такими же частицами. Если все эти частицы заменить точками, каждая из которых равно окружена другими точками, получается, так называемая, правильная система Делоне. Полная совокупность таких преобразований для данной правильной системы Делоне образует группу. В России ее называют федоровской группой в честь отечественного геометра и кристаллографа Е. С. Федорова, получившего в году полный список из 0 таких групп. Одновременно с Федоровым эту работу проделал немецкий математик Шенфлис, и они несколько раз сверяли свои результаты, поправляя другу друга. Сегодня пользуются более простым алгебраическим выводом Цассснхауза 6 и его геометрической интерпретацией 7. Характерной особенностью федоровских групп служит то, что все содержащиеся в них преобразования имеют оси симметрии только второго, третьего, четвертого или шестого порядков. Последним самым крупным достижением в теории правильных систем Делоне является локальная теорема М. И. Штогрина о том, что всякая правильная система на евклидовой плоскости определяется локально, т. Еще ранее эта теорема была качественно без указания строгих границ обобщена на пмерные пространства постоянной кривизны 9. Как было показано Энгелом на конкретном примере, в случае трехмерного пространства равного окружения в сфере радиуса 4И. Предполагается, что граница эта равна 6Я, но строгой границы пока не найдено. Невзирая на то, что как общие, так и правильные системы Делоне уже достаточно полно и глубоко исследованы, на сегодняшний день не существует ни одной математической модели, которая бы выделяла промежуточный между ними класс точечных систем. Между тем, необходимость в выделении такого класса давно назрела и у физиков, и у математиков. В году был получен сплав с дальним абсолютным порядком, обладающим осями симметрии пятого порядка, запрещенными в кристаллах , т. Подобные соединения получили название квазикристаллов. К этому времени уже было известно знаменитое покрытие Пенроуза плоскости двумя типами ромбов с углами и 8, 4 и соответственно, которое не является периодическим, но любой конечный кусок встречается в нем бесконечное число раз и обязательно появляется в круге достаточно большого радиуса с центром в любой точке плоскости. Дс Брюин в году пришел к выводу, что это покрытие может быть получено как проекция лестницы из двумерных граней пятимерной кубической кристаллической решетки на некоторую иррациональную плоскость. Оказалось, что плоские сечения открытого физиками материала являются покрытиями плоскости Пеироузаде Брюина . Полинг сразу же предложил две модели, объясняющие физический эксперимент по получению квазикристаллов, не противоречащие законам кристаллографии . По первой модели квазикристаллы являются обычными закономерными сростками кристаллов, двойниками весьма распространенное явление. Для второй модели Полинг ввел понятие аппроксимантов, т. Подобного типа кристаллы образует, например, пирит. Впоследствии физиками были обнаружены новые материалы с осями симметрии восьмого, десятого и двенадцатого порядков . Такие соединения Рис. С.П. Новиков в году определил кмерную квази кристаллографическую группу, как подгруппу всех движений пространства Ик, переводящую в себя некоторую квазирешетку конечнопорожденную подгруппу в к, порождающую Як как линейное пространство. В дальнейшем в работах самого Новикова и его учеников достаточно подробно была исследована структура таких групп, в том числе получена классификация допустимых углов поворота в двумерном и трехмерном случаях .