Применение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток

• Автор: Васева, Ирина Аркадьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление
Предисловие

Глава 1. Описание математической модели построения сеток

1.1 Метод отображений.

1.2 Сеточные уравнения

1.2.1 Уравнения Бельтрами.

1.2.2 Уравнения диффузии

1.3 Постановка краевой задачи для сеточных уравнений

1.4 Обращенные сеточные уравнения

1.5 Мониторная метрика как средство управления свойствами

1.5.1 Вычисление метрических компонент.

1.5.2 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к градиентам функции
1.5.3 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к значениям функции
1.5.4 Мониторная метрика для построения.сеток, согласованных с векторным полем.
1.5.5 Мониторная метрика для построения сбалансирован
ных сеток.
1.5.6 Роль сингулярных функций в проблеме задания мо
ниторной метрики
Глава 2. Описание численного алгоритма решения сеточных
уравнений
2.1 Одномерное уравнение
2.2 Двумерные уравнения.
2.2.1 Алгоритм построения сеток в двумерных областях . .
2.2.2 Алгоритм построения сеток на двумерных поверхностях
2.3 Трехмерные уравнения
Ф 2.4 Программный инструментарий вычислительного эксперимента
Глава 3. Результаты исследования математической модели
построения сеток
3.1 Разностные сетки, адаптирующиеся к градиентам функции .
3.2 Разностные сетки, адаптирующиеся к значениям функции .
3.2.1 Двумерные поверхности
3.2.2 Трехмерные области.
3.3 Разностные сетки, согласованные с модельным векторным
полем .
3.4 Сбалансированные разностные сетки.
3.5 Построение гладких блочных сеток
3.6 Разностные сетки, согласованные с магнитным полем в тока
маке .
4 Глава 4. Применение метода для решения сингулярновозмущенных уравнений
4.1 Оценки производных.
4.2 Численные расчеты Заключение
Литература


Подробный обзор интерполяций Лагранжа и Эрмита представлен в монографии []. Исследование и описание алгебраических методов проводится также в работах [], [], [], [], [], [2]. Для построения сеток в областях и на поверхностях с произвольной границей обычно используются дифференциальные методы, основанные на решении эллиптических и параболических уравнений. Такие уравнения позволяют получать гладкие сетки; они учитывают распределение узлов сетки на границе физической геометрии, не распространяют граничные изломы внутрь; для них существует меньшая опасность перекрывания ячеек сетки и их можно эффективно решать различными хорошо разработанными методами. Использование параболических и эллиптических систем позволяет получать ортогональные и сгущающиеся координатные сеточные линии, причем во многих случаях принцип максимума, который, как правило,выполняется для этих систем, гарантирует невырожденность промежуточного преобразования. Эллиптические уравнения также используются для сглаживания неструктурных сеток или сеток, полученных алгебраическими и гиперболическими методами. Гиперболические уравнения позволяют использовать маршевые методы и конструировать ортогональные координатные системы. Однако методы, основанные на решении гиперболических уравнений, не всегда математически корректны, и, кроме того, они не применимы в случае, когда граничные узлы сетки заданы на всей границе. Двумерная система уравнений Лапласа, записанная относительно параметрических координат, была предложена в работах Годунова, Прокопова () [5], Барфилда () [], Амсдена, Хирта () []. Общая эллиптическая система для построения структурных сеток сеток была рассмотрена Чу []. Двумерная система обращенных уравнений Лапласа была предложена Кроули () [], Винслоу () [0]. Двумерная система уравнений диффузии для построения адаптивных сеток была введена в работах Данаева, Лисейкина, Яненко () [9], Винслоу () [1] и развивалась в работах [], []. Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно мониторных метрик подробно описан в монографиях Лисейкина (, ) [], [] и является естественным продолжением подходов, предложенных в работах Кроули () [], Винслоу () [0], Годунова, Прокопова () [5], Варси () [5] и Двински () []. Метод эквираспределения для построения сеток применяется в работах [], []. Система уравнений Пуассона была предложена Годуновым, Прокопо-вым () [6] в предположении, что ее решение является композицией конформного и растягивающего преобразований. Более общая система Пуассона была обоснована в монографиях Томпсона, Тэймса, Мастииа () [0] и Томпсона, Варси, Мастина () [2]. Разработка методов управления сеточными свойствами при помощи уравнений Пуассона проводилась в работах [], [5], [2], [4], [9], [6]. Обращенные уравнения Пуассона для построения ортогональных сеток используются в работах [], []. Лапласа, был предложен в [4]. Этот метод развивается в работах [1], [7] для произвольных поверхностей, заданных в параметрическом виде. Метод построения адаптивных сеток на поверхностях, заданных параметрически, при помощи общих уравнений Пуассона рассматривается в []. Гармонические отображения для построения сеток на поверхностях при помощи эллиптической системы также были использованы в []. Метод конформных отображений для построения сеток на поверхностях предложен в []. Первый систематический анализ использования двумерных гиперболических уравнений для построения сеток был проведен в работах [], []. Этот метод развивается в работах [], []. Обобщение на трехмерный случай проводится в [], [], [0]. Гиперболический метод для построения сеток на поверхностях разрабатывается в [], []. Метод построения двумерных сеток при помощи параболической схемы, аппроксимирующей обращенные уравнения Пуассона, был впервые предложен в работе [], вариация этого метода разработана в []. Развитие метода для построения адаптивных сеток было проведено в [], []. Комбинация гиперболической и параболической схем предложена в []. Также популярными являются методы построения сеток, базирующиеся на вариационных подходах.