Моделирование регулярных и хаотических режимов в небесно-механических задачах : На примере модели Хилла

• Автор: Батхина, Наталья Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Моделирование регулярных и хаотических режимов динамических систем

1.1. Современные принципы исследования динамических систем

1.2. Методы построения отображения Пуанкаре

1.3. Поиск периодических решений и анализ их устойчивости

1.4. Продолжение семейств периодических решений.

1.5. Симметричные периодические решения.

1.6. Исследование сценариев перехода к динамическому хаосу

1.7. Особенности небесномеханических задач.

2. Описание комплекса программ

2.1. Общая структура комплекса программ.
2.2. Программы численного интегрирования
2.3. Программы поиска и продолжения периодических решений
2.4. Программы исследования перехода к динамическому хаосу
3. Результаты исследования плоской задачи Хилла
3.1. Общие свойства задачи Хилла
3.2. Основные семейства периодических решений задачи Хилла
3.3. Классификация периодических решений второго рода .
3.4. Каскады бифуркаций удвоения периода в задаче Хилла .
3.5. Расщепление инвариантных многообразий.
3.6. Глобальная динамика.
Заключение
Литература


Поэтому симметричное периодическое решение однозначно определяется трехмерным вектором X = (*<(0)/*Д0),Т), і = 1,2, ; = 3,4, и все формулы §5 значительно упрощаются []. Анализ решений системы ( * на предшествующей странице) позволяет сделать выводы о наличии симметрий у продолжаемых решений. Методы исследования сценариев перехода к динамическому хаосу обсуждаются в шестом параграфе. Последовательность усложняющих структуру фазового пространства бифуркаций может приводить к возникновению хаотических режимов. Методы, описанные в двух предыдущих параграфах, позволяют определять наличие у семейства ПР бифуркации удвоения периода, а также каскадов этих бифуркаций и их количественных характеристик, таких, как постоянная Фейгенбаума [,] и масштабные константы []. Аналогично можно проанализировать каскады ^-кратного увеличения периода, например, для q = 3. Возникновение расщепленных асимптотических поверхностей в окрестности седловых точек может быть причиной появления сложных динамических режимов. А и? P(^(e))r ? AU(S - собственные числа линейной части отображения Р в точке zo. Представляя сепаратрисы в виде ряда по степеням малого параметра ? Последовательное определение компонентов z“'5, i = 1,2,. Е — DP(zq's)) обратима, то есть AU/S Ф ±1. Реккурентные уравнения, начиная со второго, содержат значения производных отображения Р, вычисленных в седловой точке. Сложность выражений для вычисления производных с увеличением их порядка значительно возрастает [], поэтому в работе используется вычисление производных отображения через аппроксимацию последнего с помощью полиномов Чебышева. В седьмом параграфе отмечены особенности небесно-механических задач как динамических систем. Поскольку гамильтонианы небесномеханических моделей содержат особенности в окрестности тяготеющих тел, то при интегрировании уравнений движения вблизи этих особенностей накапливаются большие ошибки. Для преодоления этих трудностей предлагается использовать регуляризацию уравнений движения. Если глобальная регуляризация или невозможна, или сильно усложняет понимание динамики фазового пространства, то применяется локальная регуляризация Леви-Чивита [] для уравнений движения и для уравнений в вариациях. В этом случае используется техника производящих функций, описанная в работе М. Лидова []. Также гамильтонианы большого числа небесно-механических моделей допускают некоторые виды симметрий, что делает возможным применение к их исследованию методов параграфа 1. Например, ограниченная задача трех тел (ОЗТТ) обладает одной симметрией относительно оси абсцисс []. Вторая глава содержит описание разработанного автором комплекса программ по исследованию динамических систем. Общая структура комплекса программ приведена в первом параграфе. Комплекс программ представляет собой набор исходных текстов программ и сценариев сборки исполняемых файлов для операционных систем, поддерживающих стандарт POSIX. Весь программный код комплекса и большая часть программ написаны на языках С и C++, а сценарии сборки комплекса написаны с использованием средств make. Наличие свободно распространяемых средств разработки открытых приложений GNU таких как эффективный компилятор С и C++, отладчик, загрузчик и другие, делает программный код комплекса мобильным. Объектно-ориентированные свойства языка программирования C++ позволяют перегружать стандартные арифметические операции, операции ввода-вывода и использовать один и тот же код алгоритма для различных классов данных, поддерживающих высокоразрядную арифметику. Для нормального функционирования программного комплекса программная среда должна удовлетворять стандартным требованиям, предъявляемым к разработке открытых программ в среде Linux. В состав комплекса входят различные свободно распространяемые библиотеки и вспомогательные программные средства. Это позволяет свободно переносить комплекс с одной платформы на другую и дополнять его новыми компонентами по мере необходимости. Программы комплекса были испытаны на платформах Linux и Win. Основной особенностью комплекса является то, что он ориентирован на использование высокоточной арифметики.