Метод нормальных сплайнов для решения сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений

• Автор: Свиридов, Вячеслав Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 146 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Сингулярные задачи дифференциальных и интегральных уравнений и методы их решений

1.1 Регулярные задачи и основные методы их решения

1.2 Жесткие задачи дифференциальных уравнений.

1.3 Сингулярные задачи на 0, оо.

1.4 Дифференциальноалгебраические системы уравнений .

1.4.1 Линейные задачи

1.4.2 Нелинейные задачи

1.5 Численное обращение преобразования Лапласа

2 Метод нормальных сплайнов. Теоретические аспекты

2.1 Пространства Соболева Упа, Ь
2.2 Общая схема метода
2.2.1 Задача о нормальном сплайне. Теоремы сходимости .
2.2.2 Структура нормального сплайна
2.3 Каноническое представление линейных непрерывных функционалов в г а, 6
2.3.1 Воспроизводящее ядро оператора канонического преобразования
2.3.2 Воспроизводящие ядра пространств Н10,1.
2.3.3 Воспроизводящие ядра пространств Н1 0, оо
2.3.4 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка на полубесконечном промежутке
2.3.5 Интегральные функционалы преобразования Лапласа
3 Метод нормальных сплайнов. Алгоритмические аспекты
3.1 Компактная схема канонического преобразования интегральных функционалов .
3.2 Построение неравномерных адаптивных сеток
3.3 Последовательный сплайн в задачах Коши.
3.4 Нелинейные вырожденные дифференциальные уравнения .
4 Интегральные уравнения первого рода с погрешностью в правой части
4.1 Схема метода для регуляризирующей задачи.
4.2 Аппроксимация производных таблично заданной функции .
4.3 Обращение преобразования Лапласа.
9 5 Вычислительный эксперимент
5.1 Жесткие линейные задачи
5.2 Линейные уравнения второго порядка.
5.3 Тестовая задача I.
5.4 Нелинейные ДАС
5.5 Обращение преобразования Лапласа некоторых тестовых функций
5.6 Аппроксимация производных некоторых физических характеристик.
А Описание комплекса программ
Литература


К. [, , ] в середине -х годов был построен вариационный метод нормальной сплайн-коллокации (нормальных сплайнов, далее НС) для линейных интегральных уравнений первого рода, а также для начальных и краевых задач линейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений. Новизна этого вариационного метода в том, что он направлен на подавление невязки решаемой системы и, в отличие от традиционных разностных и проекционных методов, он применим в универсальной схеме к системам ОДУ и ИДУ с произвольным вырождением главной части. Также он не накладывает специальных условий на выбор коллокационных узлов, кроме их сгущения. Другим преимуществом метода НС является то, что он легко адаптируется для решения регуляризующих задач в случае некорректности исходной задачи (неединственности и/или неустойчивости решения). В этом случае задача должна быть регуляризоваиа, т. Метод НС относится к численным методам проекционного класса. Он заключается в выборе подходящего гильбертово-соболевского пространства И^а, 6], переходе от функциональных уравнений к конечной коллокаци-оиной системе и минимизации нормы на множестве решений конечной системы. Элемент минимальной нормы называется нормальным сплайном. Она определяется нормой выбранного пространства, а также коэффициентами уравнения. Выбор подходящего пространства означает, что значения координатных компонент решения в точках коллокационной сетки можно считать в данном пространстве линейными непрерывными функционалами. Эти функционалы в соответствии с теоремой Ф. Рисса [] могут быть приведены к каноническому виду. Такое преобразование выполняется с помощью воспроизводящего ядра интегрального преобразования функций в соответствующем функциональном пространстве [4]. Таким образом, ключевой проблемой метода является, построение универсального для выбранного пространства воспроизводящего ядра. Далее метод НС развивался под руководством В. К. Горбунова В. В. Петрищевым. Им был получен общий вид воспроизводящего ядра пространств функций на конечном промежутке ИТ^а, 6], позволяющий решать задачи в пространствах с произвольным показателем дифференцирования I [], а также ряд алгоритмов, ускоряющих процесс решения методом НС для некоторых классов задач, в частности, им была предложена компактная схема численной реализации канонического преобразования интегрального функционала в пространстве И^[аМ для интегральных уравнений []. Диссертация посвящена дальнейшему развитию метода НС. В первой главе изложено современное состояние относительно численных методов решения рассматриваемых классов задач. Вторая, третья, четвертая и пятая главы посвящены изложению метода НС и содержат, наряду с полученными ранее В. К. Горбуновым и В. В. Петрищевым, следующие новые результаты. НС без редукции промежутка интегрирования. Получены канонические образы интегральных функционалов, позволяющие применять метод НС для решения задачи обращения преобразования Лапласа, в том числе в случае приближенно заданного изображения. Для линейных интегро-дифференциальных уравнений предлагается развитие компактной схемы численной реализации канонического преобразования интегральных функционалов для пространства [а, 6]. Получены формулы дифференцирования квадратичной нормы невязки по узлам сетки и достаточные условия их применимости. Кроме того, предложена схема последовательного построения сплайна на малых промежутках с малым числом узлов и схема метода НС для нелинейных задач на основе линеаризации Ныотона-Канторовича. КЗОепуаМуез). Выносимые на защиту результаты опубликованы в работах [, , , , ]. В этой главе дан обзор известных методов решения задач для интегральных и дифференциальных уравнений. С целыо выявления методологической новизны разрабатываемого метода в первом параграфе рассмотрены классические разностные и проекционные методы для решения регулярных задач. Второй, третий, четвертый и пятый параграфы посвящены сингулярным задачам и методам их решений. Разностные методы. Ь е [? Т] (1. Разностные методы можно разделить на одношаговые и многошаговые.