Математическое моделирование движения малых тел Солнечной системы на основе метода тейлоровских разложений

• Автор: Алтынбаев, Фанис Хайдарович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 218 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Краткий обзор но развитию методов решения уравнений движения

в задачах небесной механики

1.2. Метод тейлоровских разложений.

1.3. Методы РунгеКутты

1.4. Неявные одношаговые методы Эверхарта

1.5. Многошаговые методы.

1.6. Экстраполяционные методы

1.6.1. Экстраполяционные схемы Невилла и Штера.

1.6.2. Метод Булирша и Штера.

1.7. Сравнительная характеристика методов
1.8. Малые тела астероиды Солнечной системы
1.9. Постановка задачи.
ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ЧТЕЛ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ТЕЙЛОРОВСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ СОЗДАНИЕ БАНКА ДАННЫХ КООРДИНАТ И СКОРОСТЕЙ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ.
2.1. Эклиптическая гелиоцентрическая система координат.
2.2. Эфемеридное, всемирное время и юлианские дни
2.3. Алгоритм перехода от юлианских дней к календарной дате и
решение обратной задачи
2.4. Элементы орбит и прямоугольные координаты.
2.4.1. Вычисление прямоугольных координат и скоростей по элементам
2.4.2. Вычисление элементов орбиты по положению и скорости.
2.5. Разработка математической модели решения задачи тел на основе
метода Тейлора высокого порядка
2.5.1. Метод рядов ТейлораСтеффснсона для планетной задачи
2.5.2. Высокоточный метод Тейлора для решения задачи птел с учетом релятивистских эффектов.
2.5.3. Программа численного интегрирования уравнений движения небесных объектов методом на основе высокоточного метода разложения решения в ряд Тейлора
2.5.4. Исследование эффективности применения метода разложения в ряд Тейлора для решения задачи птел
2.5.5. Эффективные параметры использования высокоточного метода Тейлора.
2.6. Банк данных координат и скоростей планет.
2.6.1. Построение банка данных координат и скоростей планет.
2.6.2. Точность банка данных координат и скоростей
2.6.3. Вычисление координат и скоростей больших планет при использовании банка данных
ГЛАВА 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ АСТЕРОИДОВ ГРУПП АПОЛЛОНА, АМУРА, АТОНА НА ОСНОВЕ МЕТОДА ТЕЙЛОРОВСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ
3.1. Выделение из банка данных малых тел Солнечной системы астероидов групп Аполлона, Амура, Атона.
3.2. Функции распределения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона
по эксцентриситету, наклонению и большой полуоси.
3.3. Постоянная Тисссрана и выделение родственных объектов
3.4. Потенциально опасные для столкновения с Землей астероиды.
3.5. Программа численного интегрирования уравнений движения малых тел Солнечной системы на основе высокоточного метода Тейлора и проведение исследования эволюций орбит потенциально опасных астероидов на летнем интервале времени.
3.6. Исследование сохранения принадлежности астероидов к группам Аполлона, Амура, Атона
3.7. Исследование устойчивости соизмеримостей средних движений астероидов групп Аполлона, Амура, Атона с большими планетами
3.8. Исследование эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона, проходящих через сферу действия Земли, на интервале
времени с по годы
ГЛАВА 4 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И ЕГО КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ТЕЙЛОРОВСКИХ
РАЗЛОЖЕНИЙ.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


УА,У 0,, 0,
где вектор функция с компонентами уу дъ0 у Уо задано. При условии выполнения соотношения 1. Метод 1. Однако его использование ограниченно кругом задач, для которых производные высших порядков от 9 не претерпевают разрывов. Данный метод применим к задачам небесной механики, и, прежде всего, к задаче тел. Методы Тейлоровских разложений для задачи тел получили развитие в работах В. Ф. Мячина и О. А. Сизовой , Р. Брукке 4, А. Ф. Заусаева , . Группой авторов , i, 2 предложен способ построения тейлоровских разложений, основанный на аппроксимации производных от функции , рациональными функциями. В задачах прогнозирования движения искусственных небесных тел наибольшее распространение получил явный одношаговый метод РунгеКутты. Это объясняется, прежде всего, исключительной простотой его алгоритма. Ах,у,ИухУхх 1. При этом функция рхуууИ не содержит производных от ух. Для явных этапных методов используется т вычислений функции на одном шаге интегрирования. У,т У,,крх,У,к,
рх,у,Исгкг, 1. В неявных методах РунгеКутты коэффициенты г определяются из системы т линейных уравнений. И сгкг, 1. Формулы 1. Одной из основных трудностей, связанной с применением методов РунгеКутты, состоит в выборе шага И. Для явных методов при выборе шага интегрирования используются вложенные методы. Значительный прогресс в развитии теории методов типа РунгеКутты был достигнут в х годах усилиями Дж. Батчера , 9. Ряд таких алгоритмов получен в работах Дж. Батчера , 8, Дж. Шенкса 3, Е. Фельберга , Э. Хейрера 8, А. Кертиса 2, Е. Эверхарта 4 и других авторов. Применимость метода РунгеКутты ограничена, тем не менее, небольшими временными интервалами интегрирования. При получении долгосрочных прогнозов необходимо использование методов более высоких порядков. Э. Эверхарта. Этот метод разработан специально для решения задач небесной механики и имеет совершенно иной способ построения неявных одношаговых алгоритмов типа РунгеКутты. Здесь используется ряд по степеням независимой переменной, который в общем случае не является рядом Тейлора 4. Представим правую часть 1. Л2. Ап1п. Интегрируя уравнения 1. А 6 . Ап2 2. Важно отметить, что полином, стоящий в правой части 1. Тейлора. Коэффициенты вычисляются из условий наилучшего приближения хил в момент времени Т, соответствующему значению решения на конце шага по формулам 1. А3 а3 . Г,сму, 1 У . Таким образом, в дальнейшем нахождение решения уравнения 1. С точки зрения эффективности использования, этот метод является наилучшим. Поэтому в настоящее время он получил широкое практическое применение. Увеличение порядка аппроксимирующей формулы приводит к увеличению точности метода. В свое время Э. Эверхартом был разработан алгоритм лишь до ого порядка точности. В современных работах , , алгоритм Эверхарта развит до ого порядка включительно. Помимо одношаговых методов для решения уравнения движения задачи дтел также используют многошаговые методы. В отличие от одношаговых методов, многошаговые методы решения задачи Коши характеризуются тем, что решение в текущем узле ищется по значениям не одного, а нескольких предыдущих узлов. Многие многошаговые методы различного порядка точности можно конструировать с помощью квадратурного способа. Первые многошаговые методы были разработаны Адамсом и Коуэллом , , для решения задач небесной механики. Детальное изложение теории многошаговых методов можно найти у Хайрера 8 и др. Остановимся лишь на принципах построения разностных формул. Иу т,утст. Если решение задачи Коши получено в узлах вплоть до гго, то можно аппроксимировать подынтегральную функцию, например интерполяционным многочленом Рт какойлибо степени, принимающим значения Дгп,уп на множестве точек для которых уп уже известны. Вычислив интеграл от построенного многочлена на отрезке Хк1 получим ту или иную формулу Адамса , , в зависимости от выбора полинома Рт. I РУпЧ и 0. Д постоянные а0 0 о. В зависимости от принимаемых значений ак, многошаговый метод может принимать как явный, так и неявный вид. Для одних и тех же значений к, неявный метод более устойчив к малым возмущениям уп.