Применение пакетов аналитических вычислений к решению некоторых задач дифференциальной геометрии

• Автор: Джепко, Валерий Валентинович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Рубцовск
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение

1 Вычислительные системы в математическом исследовании

1.1 Система аналитических вычислений Мар1е.

1.2 Система численных исследований Ма1ЬаЬ.

1.3 Вычислительный пакет МаМаСа1.

1.4 Система компьютерной алгебры МаМетаЫса

2 Коэффициенты формулы символа произведения двух дифференциальных операторов

2.1 Предварительные сведения

2.2 Алгоритм поиска коэффициентов

2.3 Основные результаты

2.4 Поиск коэффициентов с использованием двойного экспоненциального отображении на пространствах постоянной кривизны
2.4.1 Предварительные сведения
2.4.2 Евклидовы сферы
2.4.3 Пространства Лобачевского.
2.4.4 Следствия и замечания.
3 Новые инвариантные метрики Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли
3.1 Предварительные сведения
3.2 Поиск метрик при 1,5 2 .
3.2.1 Пространства к 2 кгк.
3.2.2 Пространства Зрк кг з5рз
3.3 Поиск метрик при 1 и произвольном 5
3.4 Поиск метрик при I 2,5 1
3.4.1 Пространства к кг 4 з02 х Аз . .
3.4.2 Пространства 5р1 кь кБр х 5рз.
3.5 Поиск метрик при 5 1и произвольном .
3.5.1 Пространства И 4 к11
3.5.2 Пространства ЗрИ к3р1г.
Заключение
Приложения
Приложение 1. Процедуры поиска коэффициентов формулы символа произведения
Приложение 2. Процедуры поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна
Литература


Целью диссертационной работы является решение некоторых задач теории псевдодифференциальных операторов и теории эйнштейновых многообразий при помощи пакетов аналитических вычислений, тем самым обосновывается эффективность систематического использования аналитических пакетов для решения задач дифференциальной геометрии. Поиск алгоритма вычисления и эффективное вычисление коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодиффереициальных операторов. Получение определяющих коэффициентов формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны. Нахождение новых инвариантных метрик Эйнштейна и доказательство теорем их существования на некоторых однородных пространствах классических групп Ли с помощью систем аналитических вычислений. Методика исследования ориентирована на использование стандартных методов линейной алгебры, анализа, дифференциальной геометрии, теории псевдодиффереициальных операторов, тензорного анализа, теории групп и алгебр Ли. Для решения поставленных задач использовались методы символьных и численных вычислений в системе Maple V Release 4. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе - номер раздела, третье - номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение основных результатов диссертации. В первой главе диссертации приводятся необходимые сведения о системах аналитических вычислений и их использовании в математических исследованиях, сравниваются различные системы компьютерной математики, рассматриваются их особенности и преимущества. Мар1е. В первом разделе. В работе [] В. А. Шарафут-диновым определен геометрический символ исевдодифференциального оператора на гладком многообразии X с гладкой симметричной связностью V. Одной из важных проблем развиваемой в [] теории является определение символа произведения двух псевдодифференциальных операторов. В частности, в указанной работе получена формула для символа произведения операторов, включающая в себя специальные многочлены ? С°°(Т*Х), которые могут быть выражены через тензор кривизны Я связности V и его ковариантные производные Уй [, §2]. Подход В. А. Шарафутдинова связан с асимптотикой специальных тензоров, проблема асимптотики таких объектов довольно популярна (см. В настоящее время общей ЯВНОЙ формулы ДЛЯ многочленов не получено. Приводимое в [] определение коэффициентов конструктивно, т. Однако, объем вычислений быстро растет с номером коэффициента. Во втором разделе главы два описан алгоритм поиска коэффициентов ра^(я,? Мар1е. В третьем разделе второй главы приведены некоторые результаты, полученные с помощью систем аналитических вычислений. Используя описанный во втором разделе алгоритм, была написана программа для поиска коэффициентов ра,^(х, ? С помощью этой программы были получены формулы коэффициентов до порядка пять включительно. Формулы до порядка четыре были получены (без применения компьютерных вычислений) В. А. Шарафутдиновым в [], они полностью совпадают с формулами, полученными программным путем. ШЫт) = а{Ыт){-^)кЩт^ рММ = <ттНПК1тп? Щтк + (-гУ),Д^)^р. Ш) = ±а(а1а2а3а4)а(а5)(7^ага5Л^Рб^ - ЭУЛЛ*^*); р(а1а2),{азо5) = -Х? ЗУазУО1^0^Рв + 3 У аз У п, д2а5 ? Уа,Уа4Щ,1а3а^Рв + 2Уа<Уа1 Д^вз1а3а? В этих равенствах предполагается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам, через (л, • * чЗп) обозначен такой мультииндекс о: = (а1,. Объем вычислений растет с номером коэффициента, и, уже на б-ом порядке, современный компьютер не смог справиться с этой задачей. В четвертом разделе второй главы с помощью средств системы Мар1е ищутся коэффициенты формулы символа произведения двух дифференциальных операторов на пространствах постоянной кривизны, используя двойное экспоненциальное отображение.