Математические модели для описания волн на воде и их свойства

• Автор: Сухарев, Михаил Борисович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 176 с. : ил.

Введение

1 Математические модели, используемые для описания волн

на воде

1.1 Модель Кортевега де Вриза для описания воли на воде.

1.2 Одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде . .

1.3 Двумерная модель для описания волн на поверхности воды

1.4 Уравнения Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами

1.5 Результаты первой главы.

2 Методы Пенлеве для исследования нелинейных уравнений

2.1 Тест Ковалевской Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с положительными индексами.

2.2 Метод Конта Форди Пикеринга для анализа обыкновенных

дифференциальных уравнений с отрицательными индексами .
2.3 Метод усечнных разложений для анализа нелинейных уравнений
2.4 Инвариантный Пенлевеанализ.
2.5 Результаты второй главы.
3 Точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде
3.1 Методы поиска частных решений для нелинейных дифференциальных уравнений
3.2 Модифицированный метод усечнных разложений для поиска частных решений нелинейных дифференциальных уравнений
3.3 Решения одномерной модели пятого порядка в виде уединнных волн
3.4 Решения одномерной модели пятого порядка и виде кноидальных волн.
3.5 Результаты третьей главы.
4 Аналитические свойства уравнений Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами
4.1 Анализ уравнении Кадомцева Петвиашвили на свойство Пенлеве
4.1.1 Уравнение Кадомцева Петвиашвили.
4.1.2 Модифицированное уравнение Кадомцева Петвиашвили
4.2 Вывод иерархии уравнений Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами
4.2.1 Иерархия модифицированных уравнений Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами.
4.2.2 Иерархия уравнений Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами.
4.3 Преобразования Бэклунда и пары Лакса для уравнения Кадомцева
Петвиашвили с переменными коэффициентами.
4.3.1 Преобразования Бэклунда.
4.3.2 Пары Лакса .
4.4 Редукции уравнений Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам двумерных уравнений .
4.5 Связь уравнений Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами и уравнений Пенлеве
4.6 Результаты четвртой главы
5 Аналитические свойства обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн па воде
5.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения, возникающие при описании волн на воде.
5.1.1 Связь одномерной модели пятого порядка для описания волн
на воде с точно решаемыми моделями.
5.1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Кортсвега дс Вриза
5.1.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Каупа Купершмидта.
5.2 Анализ на свойство Пенлеве обыкновенных дифференциальных уравнений четвртого порядка, используемых при описании воли на воде
5.2.1 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из модифицированного уравнения Кортевега
де Вриза ИЗ
5.2.2 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из модифицированного уравнения Каупа Куперы мидта.
5.3 Пары Лакса для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с модифицированным уравнением Кортевега де Вриза .
5.4 Преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных
уравнений, встречающихся при описании волн на воде.
5.4.1 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из иерархии модифицированных уравнений Кортевега де Вриза
5.4.2 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из иерархии модифицированных уравнений Каупа Купершмидта
5.5 Частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений четвртого порядка, возникающих при описании волн на воде 0 5. Точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде
5.6.1 Рекуррентные формулы для решений обыкновенного диф ференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Кортевега де Вриза.
5.6.2 Рекуррентные формулы для решений обыкновенного диф ференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Каупа Купершмидта
5.7 Результаты пятой главы
Заключение
А Уравнения иерархий Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков
А.1 Модифицированное уравнение Кадомцева Петвиашвили, пятое
уравнение иерархии.
А.2 Модифицированное уравнение Кадомцева Петвиашвили, четвртое уравнение иерархии.
А.З Уравнение Кадомцева Петвиашвили, пятое уравнение иерархии
А.4 Уравнение Кадомцева Петвиашвили, четвртое уравнение иерархии .
А.5 Преобразования Бэклунда дтя пятого уравнения иерархии Кадомцева Петвиашвили
А.6 Преобразования Бэклунда для четвртого уравнения иерархии Кадомцева Петвиашвили
А .7 Редукции модифицированного уравнения Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам двумерных уравнений .
А.8 Редукции уравнения Кадомцева Петвиашвили с переменными
коэффициентами к системам двумерных уравнений
Литература


Приводится вывод уравнения Кадомцева Пствиашвили, обобщающего модель Кортевега де Вриза на случай двух пространственных измерений. Показано, что решения этого уравнения связаны с решениями модифицированного уравнения Кадомцева Петвиашвили посредством двумерного аналога нелинейного преобразования Миуры. Кадомцева Петвиашвилн с переменными коэффициентами при условии, что известна сингулярная структура решений соответствующих уравнений с постоянными коэффициентами. Вторая глава посвящена описанию методов анализа дифференциальных уравнений на свойство Псилеве, которое заключается в отсутствии подвижных критических особых точек в общем решении дифференциального уравнения. Изложен метод Ковалевской Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод основан на разложении решения уравнения вблизи подвижного некритического полюса в ряд Лорана. Для того, чтобы иметь возможность анализировать решения дифференциальных уравнений с подвижными некритическими существенно особыми точками, излагается метод Конта Форди Пикеринга. Этот метод является обобщением метода Ковалевской Пенлеве и основан на применении техники теории возмущений. Приведены обобщения методов Ковалевской Пенлеве и Конта Форди Пикеринга на случай уравнений в частных производных. Рассмотрен инвариантный формализм тестирования уравнений на свойство Пенлеве, позволяющий в ряде случаев существенно упростить вычисления. Изложен метод усечнных разложений Вейсса Табора Карневсйля, основанный на усечении рядов Лорана для решений дифференциальных уравнений до неположительных степеней. На примере уравнения Кортевега де Вриза показано, что для некоторых точно решаемых уравнений этот метод позволяет построить пары Лакса и преобразования Бэклунда. Метод усечнных разложений также может быть использован для поиска аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и для уравнений, не относящихся к классу точно решаемых. Третья глава посвящена исследованию одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. В начале главы приведн обзор методов, используемых для поиска аналитических решений дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено прямым методам, показано, что часть из них сводится к методу усечнных разложений. Контом и Мюсетт в году. Фактически этот метод сводится к поиску частных решений дифференциального уравнения в виде полинома по степеням двух функций, обладающих общими полюсами первого порядка и удовлетворяющих системе двух связанных уравнений Риккати. Формально метод Конта Мюсетт можно рассматривать, как разложение решения дифференциального уравнения по элементарным уединнным волнам солитону и кинку. Остальная часть третьей главы посвящена точным решениям одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. Показано, что рассматриваемое уравнение не обладает свойством Пенлеве, т. Тем не менее метод Конта Мюсетт позволяет найти ряд решений, имеющих вид уединнных волн. Для поиска точных решений одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде, выражающихся через эллиптические функции, использован метод Кудряшова, предложенный в году. С помощью этого метода найдены периодические решения исследуемой модели, имеющие вид кноидальных волн. Четвртая глава посвящена исследованию аналитических свойств уравнений Кадомцева Пствиашвшш с переменными коэффициентами. Представлен анализ на свойство Пенлеве уравнения Кадомцева Пствиашвшш и связанного с ним модифицированного уравнения, необходимый для выявления сингулярной структуры их решений. На основе полученной информации строится иерархия псевдопотенциалов Уолквиста Эстабрука, условие совместности которых приводит к иерархии уравнений Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами. Уравнения для псевдопотенциалов в силу линейности представляют собой скалярные пары Лакса для исследуемых уравнений. Тем самым уравнения Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами оказываются точно решаемыми интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния, как и уравнения с постоянными коэффициентами.