Итерационные методы решения вариационных неравенств нелинейной стационарной фильтрации

• Автор: Исмагилов, Линар Наилевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

1.1 Постановка нелинейной стационарной задачи

фильтрации

1.2 Постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной

вязкопластичной нефти

2 ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДА ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПСЕВДОМОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

2.1 Постановка общей задачи.

2.2 Метод итеративной регуляризации в случае

банахова пространства

2.3 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае банахова пространства.
2.4 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае гильбертова
пространства.
2.5 Реализация метода итеративной регуляризации
в случае гильбертова пространства
2.6 Решение нелинейных стационарных задач
фильтрации методом итеративной регуляризации
3 ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОБРАТНО
СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПРЕАТОРАМИ
3.1 Задача о поиске седловой точки.
3.2 Построение итерационного метода расщепления
3.3 Исследование сходимости итерационного
метода расщепления
3.4 Решение нелинейных стационарных задач
фильтрации методом расщепления
4 РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ
4.1 Построение внутренних аппроксимаций для вариационных неравенств с пседомонотонными операторами. Построение схем МКЭ
для стационарных задач фильтрации.
4.2 Точные характеристики для некоторых задач
фильтрации
4.2.1 Задача определения целиков остаточной нефти
в случае бесконечной цепочки скважин
4.2.2 Задача определения целиков остаточной нефти
в случае пятиточечной площадной системы скважин
4.3 Результаты численных экспериментов
для модельных задач.
4.3.1 Результаты решения задачи
об определении целиков остаточной нефти в случае бесконечной цепочки скважин
4.3.2 Результаты решения задачи
об определении целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы
скважин
4.4 Результаты численных экспериментов для задач фильтрации с законами, имеющие степенной рост, и для областей, отличных от прямоугольных
ЛИТЕРАТУРА


Фильтрация происходит в ограниченной области Q с Ятлу m > 1 с непрерывной по Липшицу границей Г = Ti U Г2, Г1 П Г2 = 0, mes Г2 > 0, где Гу - ограниченное открытое подмножество Г, Г2 - внутренность rIV Закон фильтрации будем записывать в виде (см. Vt/|2) Vu, (0. Р, 0>о. Если т9 > О, то функция ? Г1, п - внешняя нормаль к Г1, и = 0, х € Г2. Отметим, что на практике важным моментом при решении задач нелинейной фильтрации с предельным градиентом является нахождение границ застойных зон - границ областей, где течение жидкости не происходит, т. Уг*| = р. Перейдем к математической формулировке описанной выше задачи. Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации, в области П будем понимать функцию и ? V, являющуюся решением вариационного неравенства второго рода (см. IV*? А0и, Т1 - и) + ^ (I/) - ^ (и) > (/, г} - и) V г] ? К, (0. V* - заданный элемент, характеризующий плотность внешних источников. Поскольку оператор Ло является монотонным, коэрцитивным (см. Отметим, что при р = 2 (т. V является гильбертовым. В § 2 главы 1 дается постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти (см. Рассматривается процесс вытеснения вязкопластичной нефти из пласта водой. Отличительной особенностью вязкопластичных жидкостей, отличающей их от обычных ньютоновских жидкостей, является способность оставаться неподвижными в пористой среде, если модуль градиента давления не превосходит предельного значения Р (предельного градиента давления). Предположим, что в процессе длительного вытеснения в пласте образовался равновесный целик, обтекаемый стационарным потоком вытесняющей воды. Это означает, что область фильтрации распадается на область движения воды и область, занятую неподвижной вязкопластичной нефтью (предельно равновесный целик). Существенным моментом при этом является определение границ таких целиков. Эта задача аналогична задаче фильтрации однородной жидкости с многозначным законом фильтрации. Застойные зоны (области, где жидкость не движется) отвечают целикам, а область течения - области движения воды. Область, в которой модуль градиента давления равен предельному градиенту, в законе фильтрации, соответствует области частично промытого пласта, часть мощности которого занята целиком, а часть - промыта. Таким образом, задача поиска предельного целика сводится к определению стационарных полей давления и и скорости V жидкости, вытесняющей нефть, в области П с непрерывной по Липшицу границей Г = Г и Г2, где Г! П Г2 = 0, шее Г2 > 0, Г! Го, ? Р > 0, г? Описанная задача математически формулируется также в виде вариационного неравенства (0. Во второй главе построен метод итеративной регуляризации для решения вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами и выпуклыми, недифференцируемыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, к которым сводятся, в частности, задачи фильтрации, рассматриваемые в главе 1. Проведено исследование сходимости предложенного итерационного метода. Рассмотрена реализация метода итеративной регуляризации для задач фильтрации. В § 1 сформулирована постановка общей задачи - вариационного неравенства второго рода. Пусть V - рефлексивное банахово пространство с равномерно выпуклым сопряженным пространством V*, (•,•) - отношение двойственности между 7 и Р, М - выпуклое замкнутое множество в Уу Ао : V —» V* -псевдомонотонный [, стр. Предполагаем, что А о - ограниченно липшиц-непрерывный оператор [, стр. Aou - Аоч||у. Я)Ф(||и - 7/||к) V«, е V, (0. Я = тах{||и||у, ||? Ьоо) функция, такая, что Ф(0) = О, Ф(? Кроме того, считаем, что оператор Ао удовлетворяет условию (см. J«Ло(*(« + »? I {Ао(и +Уи,т]еУ. Пусть, далее, : V —» Я1 - выпуклый (вообще говоря, недифференцируемый), липшиц-непрерывный (с константой 7 > 0) функционал. А0и, 7) - и) + Ях (г/) - Ях (и) > (/, 7] - и) V 7] Е М. В § 2 главы 2 построен метод итеративной регуляризации решения вариационного неравенства (0. А(»7)1 < Ф), V? Е V, Итс(е) = 0, (0. Рхс(и) <ч*\у-и\у 7* > 0. Для решения задачи (0. Пусть Е М - произвольный элемент. Определим для п = 0,1,2,. А0и(" г) - и<п+1>) Ут? М, (0. У —» У - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф (см. Л?.