Использование многосеточного метода для реализации математических моделей процессов конвективно-диффузионного переноса

• Автор: Андреева, Евгения Михайловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 183 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1 Физическое описание процессов конвекции и диффузии

1.1.1 Диффузия

1.1.2 Конвекция.

1.1.3 Математические модели конвективнодиффузионного переноса

1.2 Особенности выбора формы записи оператора конвективного переноса

1.2.1 Свойства дифференциальных операторов конвекциидиффузии .

1.3 Разностные схемы

1.3.1 Построение сетки

1.3.2 Построение дискретных аналогов дифференциального уравнения и входных данных
1.3.3 Разностные схемы для стационарной задачи конвекциидиффузии
1.4 Модельная задача конвекциидиффузии.
1.5 Общая теория итерационных методов.
1.5.1 Операторный подход
1.5.2 Спектральный подход.
1.5.3 Классические итерационные методы
ГЛАВА 2 МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИЛЬНО
НЕСИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ.
2.1 Этапы развития многосеточного метода
2.2 Описание метода.
2.2.1 Сглаживающая процедура
2.2.4 Грубосеточная коррекция.
2.2.5 Построение сеток.
2.2.6 Выбор оператора на грубой сетке
2.2.7 Функция интерполяции.
2.2.8 Функция ограничения
2.2.9 Многосеточный алгоритм.
2.3 Виды многосеточного метода
2.4 Возможность параллельной реализации многосеточного
метода.
ГЛАВА 3 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА.
3.1 Сходимость многосеточного метода.
3.1.1 Сходимость сглаживающего метода.
3.1.2 Сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями
3.2 Введение в Фурьеанализ многосеточного метода
3.2.1 Фурьеанализ для сеточных функций и операторов
3.3 Анализ на конечной области или анализ модельной задачи МРА.
3.4 Локальный Фурьеанализ.
3.4.1 Односеточный анализ Фурье или анализ
сглаживания.
3.4.2 Основные понятия Фурьеанализа.
3.4.3 Высокие и низкие частоты Фурьеразложения.
3.4.4 Коэффициенты сглаживания итерационных методов
3.4.5 Двухсеточный локальный Фурьеанализ.
3.4.6 Анализ сглаживания II.
3.4.7 Упрощенный двухсеточный анализ
3.5 Стратегии огрубления сетки.
ГЛАВА 4 ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИДИФФУЗИИ
4.1 Пакет прикладных программ
4.1.1. Структура и описание пакета.
4.1.2. Описание интерфейса с пользователем.
4.2 Стационарная задача конвекциидиффузии.
4.3 Нестационарная задача конвекциидиффузии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Предложено использовать новый класс сглаживателей в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, доказана сходимость многосеточного метода с новыми сглаживателями. Проведен локальный Фурье-анализ предложенных сглаживающих методов в многосеточном методе и локальный Фурье-анализ двухсеточного метода. Проведено сравнение эффективности многосеточного метода с предложенными сглаживателями и многосеточного метода с другими типами сглаживателей для решения различного типа задач. Достоверность. Представленные в диссертации теоремы имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверенны. Практическая значимость. С помощью разработанных методов можно эффективно решать стационарные и нестационарные задачи конвективнодиффузионного переноса с дискретным пространственным оператором, матрица которого диссипативна (т. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VIII, IX X и XI Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо г. Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (п. Абрау-Дюрсо, г. VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященном памяти А. Ф. Сидорова (Пущино, г. Абрау-Дюрсо, г. I и II Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (г. Казань, г. Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г. Ростов-на-Дону, г. ГММС- "Итерационные методы и матричные вычисления" (г. Ростов-на-Дону, г. IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ИРЫЗ-) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г. Санкт-Петербург, г. Международной конференции по вычислительной математике 1ССМ- (г. Новосибирск, г. Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (г. Ростов-на-Дону, г. II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова (п. Абрау-Дюрсо, г. В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ. Публикации. По теме диссертации опубликовано печатных работ, в том числе в соавторстве. Из них 1 статья в российском реферируемом журнале, статей в сборниках трудов и 5 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций. В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат исследование сходимости модификаций многосеточного метода, Фурье-анапиз и проведение вычислительных экспериментов. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. В диссертации предлагается модификация многосеточного метода решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Во введении раскрывается актуальность темы диссертации, изложены основные цели и задачи диссертации, показана их практическая значимость, представлена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту. Первая глава посвящена физическому описанию процессов конвекции и диффузии. Сделан краткий обзор существующих математических моделей различных природных процессов, в основе которых лежит уравнение конвекции-диффузии. Отмечены особенности формы записи оператора конвективного переноса, рассмотрены различные способы аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса. Приводятся основные понятия, определения и свойства линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения результатов исследования. В прямоугольной области рассматривается двухмерное стационарное уравнение конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, записанное в симметричной форме. Ограничиваемся рассмотрением движения неразрывной несжимаемой жидкости. Дифференциальное уравнение дополняется граничными условиями 1 -го рода.