Приближенные модели для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами

• Автор: Медведев, Сергей Борисович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 238 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Нормальные формы для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами

1 Нормальная форма Пуанкаре 1Г

1.1.1 Основные теоремы.

1.1.2 Нормальная форма уравнений мелкой воды для больших пространственных масштабов.

1.1.3 Нормальная форма уравнений мелкой воды на бетаплоскости в средних широтах

1.1.4 Нормальная форма уравнений мелкой воды дня коротких волн на

экваториальной бегаплоскости

2 Кососимметричная нормальная форма.

1.2.1 Кососимметричные градиентные системы.

1.2.2 Кососимметричная нормальная форма
1.2.3 Ионнозвуковые волны в сильном магнитном ноле
3 Теорема Дарбу.
1.3.1 Конечномерные системы
1.3.2 Пример.
1.3.3 Полевые системы .
1.3.4 Примеры
4 Скобки Пуассона с нулевой трансверсалыюй частью
1.4.1 Движение без внешних сил.
1.4.2 Движение под действием внешних сил.
1.4.3 Двумерное уравнение Буссинеска.
5 Основные езультаты по главе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
2 Разделение медленного и быстрого движений для уравнений мелкой воды на плоскости
1 Медленное многообразие для двумерных уравнений мелкой воды
2.1.1 Медленное многообразие и уравнения движения на нем.
2.1.2 Динамическая и статическая инициализация
2 Разделение движений в спектральном виде
2.2.1 Формальные быстрое и медленное многообразия
2.2.2 Нормальные формы.
3 Фронтальное геострофическое приспособление, медленное многообразие и
нелинейные волновые явления в одномерной модели
2.3.1 Постановка задачи о геострофичооком приспособлении
2.3.2 Общие свойства одномерной модели.
2.3.3 Лагранжев подход.
2.3.4 Возмущенное иолугеострофичеекое приспособление
2.3.5 Непертурбативное медленное многообразие и процесс релаксации . .
2.3.6 Существование и единственность медленного многообразия.
2.3.7 Нелинейные волны
2.3.8 Разрушение волн и ударные волны в лагранжевых переменных
2.3.9 Лагранжево описание для осесимметричной мелкой воды
2.3. Обсуждение .
4 Основные результаты по главе
3 Турбулентность коротких инерционпограиитационных волн
1 Слабая волновая турбулентность
2 Инерционногравитационные волны в средних широтах.
3.2.1 Гамильтоново описание
3.2.2 Колмогоровские спектры.
3 Слабая турбулентность коротких экваториальных волн.
3.3.1 Уравнения мелкой воды на экваториальной бетаплоскости
3.32 Трехволновые взаимодействия.
3.3.3 Четырехволновое кинетическое уравнение
3.3.4 Обсуждение
4 Основные результаты по главе
ОГЛАВЛЕНИЕ
4 Нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами
1 Гамильтоново усреднение и интегрируемость .
4.1.1 Гамильтоново описан не.
4.1.2 Квазитождественное преобразование.
2 Усредненная динамика оптических импульсов
4.2.1 Преобразование Боголюбова
4.2.2 Разложение для малых .
4.2.3 Солитонные решения.
4.2.4 Сравнение с другими методами.
4.2.5 Обсуждение
3 Численное моделирование солитонных импульсов в усредненной модели . .
4.3.1 Усредненная модель в спектральной области .
4.3.2 Усредненная модель во временной области.
4.3.3 Примеры вычислений
4 Квазилинейная теория распространения гауссовых импульсов
4.4.1 Квазилинейное решение
4.4.2 Аналитическое решение для гауссовых импульсов
4.4.3 Результаты численного интегрирования.
5 Основные результаты по главе.
5 Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов
1 Пробные функции для одиночного импульса
2 Импульсы с переменными энергией и фазой
5.2.1 Преобразование скобки Пуассона.
5.2.2 Вычисление гамильтониана.
5.2.3 Физическая модель
5.2.4 Точное решение.
5.2.5 Численное решение
5.2.6 Приближенные решения
3 Импульсы с переменными положением и скоростью .
5.3.1 Выбор параметров для пробной функции
5.3.2 Преобразование скобки Пуассона.
5.3.3 Вычисление гамильтониана.
5.3.4 Сравнение решений
ОГЛАВЛЕНИЕ
4 Основные 1езультаты но главе Заключение
Список литературы


Кроме того благодаря переменности параметра Кориолиса возникает дополнительная нелинейность, так называемая скалярная нелинейность, для волн Россби. Третий пример состоит в рассмотрении уравнений мелкой воды на экваториальной бета-плоскости. Хотя как хорошо известно линейные уравнения мелкой воды имеют дискретный спектр, в этом примере рассматривают короткие волны. Что позволяет применить общую теорию к этому случаю. Глава 1. О3 - . Мы предполагаем, что мультииндексы <*1,. Оь. О < ггп, которые означают отсутствие интегральных членов. Таким образом система (1. Мы введем следующие определения. Определение 1. А.(х) = А„(х) + . А3„(ж), (1. Определение 1. Моном С, называется не]к;зонансным в окрестности точки х, если Сх - нерезонансный в каждой точке этой окрестности, в противном случае, моном называется резонансным. Мы будем предполагать, что частные производные от щ, А,(х), Л'"? Р + . Дп задает норму мультииндекса р. Чтобы упростить обозначения мы вместо будем писать И*х опуская малый параметр. Поскольку при производной всегда стоит малый параметр, то частная производная будет играть в уравнениях роль малого параметра. Сформулируем основную теорему. Теорема 1. Используя замену переменных щ (х) — г'х(х) + Вх, система (1. А*(®)»»(х»/•) - И^(х,и), (1. XV являются резонансными в окрестности точки Хо и Вх имеет форму (1. Глава 1. Доказательство 1. Рассмотргш систему (1. Ир = /{х)Оаіиіх. Гпиіп и Ь = 0 для іфр. Ч.0’Ч„, (1. О<0і<й! Ь,э,. Поставляем (1. О<0і <»і ,. Е Е &А. А. (*) V,,. Г)! Л<л1|. Д х)0^1. Г^я. Х^ в правую часть (1. Ар-ЕаЛ Е Ьлл. Ов'ьь. D°^vh. Е 9іі. Лх)? Щі-0'"'г}і„, (1. Х) 2 7 Щ - 1 \К *г. В8г (1. Ар(*) - ? АД*) ^ 0 (1. Глава 1. Е b0i. Dlhvjl. E rj /<*) (1. Нели коэфх/тциенты b? Ьъ-уЛх) ^ ( М*) - АД*) ] ,. Ьрх. Таким образом, все коэффициенты выражаются в терминах ф(х) и производных от А*(х). Ьрх. Д. | производную от А»(х) в силу (1. В общем случае с правой частью в виде (1. С,(х, и) потому, что преобразование (1. Замечание 1. Мы можем предположить, что производные от Л», /о1,'. Если А* постоянны тогда уравнение (1. О<<<>1. ЕА^ ! Г'и1>. Глава 1. ЬдА,(? Замечание 2. Мы можем также предполагать слабую нелинейность. Если параметр нелинейности равен б, тогда порядок монома СУ* увачичивается на п и гомологическое уравнение (1. Таким образом мы получаем следующее обобщение теоремы Пуанкаре-Дюлака. Теорема 1. Система (1. Замечание 3. Мы может также рассматривать только слабую нелинейность для системы (1. Тогда отрицательные степени для производных (интегральные операторы) могут быть включены. Ф"А)? О-1, А] - О-'Х-ХО-' - ? Л)0-(п+|). Для исключения правой части в форме (1. X (1. Е V. Л,(х)О3' 0я«Хиьк. Я«-и,(1. Е Е 6. Л «л • •• [? АЛ| . Очевидно, что порядок коммутатора [? А^] равен | /^ | — 1, поэтому мы можем найти коэффициенты Ьр](х) рекурсивно, стартуя с члена с высшим порядком ЬЛ1шшХкп(х). Глава 1. О, коммутатор [/А, А^) имеет члены только с неотрицательными степенями, поэтому уравнение (1. Ь.тшрп(ж). Для интегрального оператора ? А^] содержит бесконечный ряд операторов с отрицательным степенями, поэтому мы должны решать бесконечную линейную систему для коэффициентов Ьр1^п(х). Таим образом прямое обобщение теоремы Пуанкаре-Дюлака может быть установлено для слабо нелинейных систем уравнений с частными производными. Теорема 1. Предположим слабую нелинейность и будем считать, что правые части Ь(х,и) системы (1. Тогда система (1. Замечание 4. Преобразования (1. Хо. Поэтому эти ряды требуют дальнейшего изучения равномерной применимос ти асимптотических рядов по б и также исследования сходимости с|юрмальных рядов. Перейдем к рассмотрению конкретных примеров построения нормальных форм. V - компоненты вектора скорости, И глубина жидкости, д - ускорение свободного падения, / - параметр Кориолиса. Мы предполагаем, что дно ровное и глубина покоящейся жидкости равна II. Геофизическое и общее физическое обсуждение этой модели можно найти в книгах Педловски || и Незлина и Снежкина [].