Применение метода усреднения к построению асимптотики решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений

• Автор: Нестеров, Павел Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Содержание

Используемые обозначения и терминология

Введение .

1. Некоторые результаты теории

асимптотического интегрирования

1.1. Теорема Левинсона

1.2. Дихотомия решений линейных систем

1.3. Приведение системы к диагональному виду

1.4. Оценка остаточного члена в асимптотических формулах

Заключение

2. Усреднение линейных систем ОДУ

с колебательно убывающими коэффициентами
2.1. Метод усреднения .. Боголюбова и работы И.З. Штокало .
2.2. Теорема об усреднении линейных систем
с колебательно убывающими коэффициентами .
2.3. К вопросу о периодическом случае .
2.4. Вспомогательные утверждения
Заключение
3. Адиабатический осциллятор
3.1. Периодическое возмущение гармонического осциллятора
с исчезающей на бесконечности амплитудой .
3.2. Один пример колебательного возмущения гармонического осциллятора с исчезающей на бесконечности амплитудой
и медленно растущей фазой
3.3. Об одной задаче, возникающей при исследовании
четвертого уравнения Пенлеве .
3.4. Возникновение зоны параметрического резонанса на границе области устойчивости решений
некоторых линейных дифференциальных уравнений
4. Асимптотическое интегрирование систем
с одной и двумя степенями свободы
4.1. Одномерное уравнение Шредингера
с быстро осциллирующим потенциалом
4.2. Система двух линейных осцилляторов
с медленно убывающей связью .
Заключение
5. Системы линейных разностных уравнений
с колебательно убывающими коэффициентами
5.1. Разностный аналог теоремы Левинсона
5.2. Разностный вариант теоремы об усреднении линейных систем
с колебательно убывающими коэффициентами
5.3. Об асимптотике решений
одного разностного уравнения второго порядка
с колебательно убывающими коэффициентами
5.4. Дискретный адиабатический осциллятор
Заключение .
Заключение .
Список литературы


Наиболее очевидное решение этой задачи состоит в том, чтобы попытаться распространить соответствующие результаты, полученные для дифференциальных уравнений, и на случай разностных. В этом направлении мы вновь отметим работу [4], где развивается соответствующий разностный аналог (3-преобразования, а также работу []. Среди разностных уравнений также можно выделить класс систем с колебательно убывающими коэффициентами. Как оказывается, для упрощения таких систем целесообразно использовать идеи метода усреднения. Эта диссертация посвящена развитию идей метода усреднения применительно к задаче построения асимптотики решений линейных систем дифференциальных и разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Хорошо известно, что для произвольной линейной системы с переменными коэффициентами крайне редко удается отыскать ее решения в явном виде. По этой причине асимптотические методы интегрирования линейных систем представляют особенный интерес. Для того, чтобы получить довольно полную информацию о характере поведения решений системы при ? Ьоо, нам достаточно определить главные члены асимптотического разложения решений, составляющих фундаментальную систему. Для многих практических задач получение подобной информации и составляет основную цель исследования. Естественно, что нельзя указать универсального метода, который решал бы такую задачу. Поэтому вполне очевидно то положение дел, при котором все многообразие линейных систем разбивается на классы, и для каждого из таких классов разрабатываются свои асимптотические приемы. Одним из таких классов является класс систем, имеющих Ь-диагональиый вид, а соответствующий асимптотический прием интегрирования утверждается теоремой Левинсона. Во многих работах авторы выделяют классы систем, которые с помощью подходящих преобразований могут быть приведены к //-диагональной форме (Рапопорт, Перрон, Чезари, Харрис и Лате). Особенную трудность существующие методы приведения к //-диагональному виду приобретают в случае, когда исходная система содержит осциллирующие величины. В этом отношение оказывается целесообразным рассмотреть класс линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами и разработать вариант метода усреднения в том его виде, в котором он использовался в работах И. З. Штокало, для упрощения подобных систем. Напомним, что И. ГУЛ|(*) +е*+1. Р(г|? Ао — постоянная квадратная матрица порядка т, все собственные значения которой вещественны; А*(? I = 1,. Ь равномерно относительно е Е [0, ? О, во] равномерно относительно Ь Е Е. В последнее время в связи с развитием вычислительной техники разностные уравнения приобрели особенную популярность. Несмотря на то, что разностный аналог теоремы Левинсона, в сущности, был получен уже Рапопортом [], его результаты были неизвестны не только западным ученым, но и в советских научных кругах о них мало кто знал. И, как это нередко случается в математике, похожие результаты были заново получены (правда, с использованием уже других рассуждений) через три десятилетия в работе [4]. Эти результаты. В этой связи распространение результатов, полученных для дифференциальных уравнений, на дискретный случай представляется автору этой диссертационной работы весьма своевременной задачей. Первая глава носит вспомогательный характер. В разделе 1. Левинсона. След}-ющий раздел посвящен краткому знакомству с результатами, полученными Коппелем, которые впоследствии были использованы Бен-заидом и Латсом для построения разностного аналога теоремы Левинсона. В разделе 1. Наконец, последний раздел этой главы посвящен оценке члена о(1) в асимптотических формулах, которые получаются с помощью теоремы Левинсона. Во второй главе разрабатывается, собственно, методика усреднения для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами. В первом разделе этой главы коротко рассказывается о методе усреднения Крылова-Боголюбова, а также излагается метод Штокало исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. В разделе 2. М*Ы*) + А,« (<К (<К (*) + .