Распространение и взаимодействие уединенных волн в одной модели нелинейного упругого композита

• Автор: Томашпольский, Виктор Яковлевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Формулировка задачи и вывод основных уравнений

1.1. Плоские волны в упругой среде

1.2. Модель композиционного материала.

2. Уединенные волны и условия их устойчивости

2.1. Солитонные решения.

2.1.1.Сохраняющиеся величины и симметрии.

2.1.2.Уединенные волны при наличии анизотропии.

2.1.3.У единенные волны в изотропном материале

2.2. Устойчивость уединенных волн

2.2.1.Спектральные свойства оператора
2.2.2.Спектр в анизотропном случае.
2.2.3.Спектр в изотропном случае.
2.2.4.Свойства билинейной формы у, у для медленного
семейства в анизотропной среде и в изотропной среде
2.2.5.Анализ устойчивости.
3. Неустойчивость и взаимодействие уединенных волн
3.1. Взрывная и обменная неустойчивости
3.2. Взаимодействие уединенных волн
3.3. Обсуждение
3.4. Приложение. Разностная схема
4. Уединенные волны в модели предварительно
деформированного композита.
4.1. Формулировка задачи
4.2. Линейные резонансы .
4.3. Солитонные решения
4.4. Обобщенные уединенные волны.
4.5. Численное моделирование образования и распада уединенных
Выводы.
Приложение.
Список литературы


В физически нелинейной теории упругости, где закон Гука модифицируется добавлением в зависимость напряжений от деформаций нелинейных членов, уравнения, описывающие распространение волн в сплошной среде, являются чисто гиперболическими, и диспергирующие члены отсутствуют. Композит является примером среды, где наряду с нелинейными свойствами, которые “остались” от нелинейности упругой матрицы, возникает дисперсия, которая обусловлена наличием неоднородности на макроуровне. В связи с изложенным представляется актуальным исследование распространения разных типов локализованных волн напряжений и деформаций в композитах и, в частности, влияние разных типов стационарных локализованных структур (классических и обобщенно-уединенных волн) на физические особенности нестационарных волновых процессов, связанных с распадом или распространением локализованных возмущений. Вопрос о эволюции последних имеет фундаментальный характер в любой физической системе. В диссертации изучаются плоские волновые движения в неоднородной нелинейной упругой среде (композите), когда перемещения, деформации и скорости частиц зависят от одной пространственной переменной и времени. Будут рассматриваться несжимаемые упругие среды, когда деформации сжатия являются постоянными, как нулевыми, так и ненулевыми. Несмотря на то, что движения нелинейного упругого тела описываются гиперболической системой уравнений [], наличие внутренней неоднородной структуры материала на макроуровне приводит к дисперсии волн [1, 2]. Д д (л . Здесь р и Ау = А- периодические функции с периодом единица, ? В случае, когда Лу = Лу(у), у = х 1/е, и волна распространяется в направлении х, дисперсионные члены младшего порядка, возникающие при осреднении, имеют вид (если V — двумерный вектор) у" х Ь, где Ь — постоянный псевдовектор и штрих обозначает производную по пространственной переменной. В диссертации будет предполагаться, что отсутствует волновая анизотропия и М. Кроме того, относительно упругой среды примем, что нелинейность, анизотропия и дисперсия малы и представляются членами одного порядка. Тогда система основных уравнений может быть записана в виде (1. Дисперсионное слагаемое с т > 0 появляется в уравнениях движения (второй паре уравнений в (1. В типичной для плоскопараллельных движений ситуации классические уединенные волны возникают как бифуркации из нулевого волнового числа спектра линейных волн. Это означает, что существует такая ветвь дисперсионного соотношения, проходящая через 0, что ее график и график всех остальных ветвей лежат по одну сторону от касательной к графику этой ветви в нуле. Если же такой ветви не существует, то в случае общего положения классическая уединенная волна отсутствует. При этом в ряде случаев возможно образование нового объекта -обобщенно-уединенной волны - бегущей волны, подобной классической уединенной волне, но имеющей периодическую асимптотик}'’ на бесконечности. Кортевега-де Вриза, которые являются динамически устойчивыми. В связи с этим факт устойчивости классических уединенных волн в случае общего положения представляется вполне естественным. Таким образом, следует ожидать, что локализованные возмущения одной полярности с рассматриваемыми классическими уединенными волнами (“горб” или “яма”) будут распадаться на эти волны. С другой стороны, процессы распада локализованных возмущений, сопровождающиеся излучением периодических или почти периодических волн, оказываюся тесно связанными с наличием в рассматриваемой обратимой системе соответственно обобщенно-уединенных волн. В [, ] сформулированы достаточные условия существования уединенных волн трех упомянутых типов для плоскопараллельных движений в диспергирующих средах. Экспоненциально малая оценка для амплитуды периодической составляющей обобщенно-уединенных капиллярно-гравитационных волн дана в работе []. Условие отсутствия периодической составляющей у обобщенно-уединенной волны в общем случае сформулировано []. Однако проверка этого условия представляет конструктивные трудности в каждом конкретном случае. В главе 4 настоящей работы будут рассмотрены вопросы существования уединенных волн и замещения их обобщенно уединенными волнами для разных диапазонах скоростей бегущей волны для композита, находящегося в предварительно деформированном состоянии [6], [].