Некоторые математические модели переноса радионуклидов в сильно неоднородных геологических формациях

• Автор: Короткин, Иван Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 188 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Элементы дробного интегродифференциального исчисления. Дробная диффузия.

1.1. Понятие дробной производной.

Определение Вейля.

Определение ГрюнвальдаЛетникова

Определение РиманаЛиувилля.

Примеры производных дробного порядка

Дробный Лапласиан.

1.2. Модель дробной диффузии.

1.3. Вывод уравнения дробной диффузии

Способ Эйлера.
Распределение Леви
Глава 2. Методы численного решения уравнения диффузии с дробной производной по пространству
2.1. Постановка задачи.
2.2. Фундаментальные решения.
2.3. Метод Фурье.
2.4. Конечноразностный метод
2.5. Метод сплайнаппроксимаций
2.6. Анализ численных методов
Устойчивость явной разностной схемы.
Стационарная задача. Аппроксимация
2.7. Двумерные уравнения дробной диффузии и метод быстрого
преобразования Фурье для их численного решения.
Глава 3. Методы численного решения уравнения диффузии с дробной производной по времени
3.1. Квазиволновое представление уравнения диффузии с дробной производной по времени
3.2. Фундаментальные решения
Задача Коши .
Краевая задача ii .
3.3. Постановка вычислительной задачи
3.4. Методы, основанные на определении РиманаЛиувилля.
Начальное условие на первом временном слое
Вычислительные особенности
Квазиволновое представление.
3.5. Методы, основанные на определении Капуто
Начальное условие на первом временном слое
Вычислительные особенности
Квазиволновое представление.
Глава 4. Численное моделирование стохастической адвекции радионуклидов в сильно неоднородных средах.
4.1. Генерация случайных соленоидальных полей скорости с заданной корреляцией в случае двух пространственных измерений.
Результаты работы алгоритма.
4.2. Алгоритм численного решения двумерного уравнения конвективного переноса.
Постановка и дискретизация задачи.
Вычисление новых значении консервативных переменных.
Коррекция консервативных переменных.
Вычисление новых значений потоковых переменных
Тестирование алгоритма
4.3. Задача о стохастической адвекции примеси
Случайные поля скоростей
Распространение примеси с течением времени
Тяжелые хвосты.
Заключение
Список литературы


При изменении расстояния между двумя стенками общая проницаемость образца меняется быстрее, чем пропорционально кубу расстояния, как это должно быть для гладких плоскостей []. Нерегулярная шероховатость стенок трещин приводит к тому, что даже в малых масштабах (5- см) поток проявляет стохастические свойства, в нем наблюдаются предпочтительные пути, когда до % потока проходит через 5-% сечения на выходе [, ]. В этих условиях можно ожидать аномальную дисперсию переносимых примесей []. Полевые эксперименты. Наибольший интерес представляют полевые эксперименты по изучению фильтрации и распространения примесей в подземных водах. Такие эксперименты проводятся в связи с задачами фильтрации воды при поливах, задачами оценки загрязнения и очистки грунтовых вод, водоснабжения, разработки нефтяных и газовых месторождений, а также специально для характеристики площадок для захоронения радиоактивных отходов []. Важное место в исследованиях свойств водоносных слоев (aquifer) занимает изучение характеристик самой вмещающей пористой среды. Для трещиноватых сред такие исследования проводятся как в лабораторных условиях, так и непосредственно на местах. Исследования структуры системы трещин. В последнее время появилось много сообщений об исследовании геометрических характеристик сети трещин непосредственно, наблюдая следы выхода трещин на поверхность трещиноватой породы, либо изучая пересечения трещин с внутренней поверхностью скважин с помощью специальной техники [, ]. Последние исследования статистики трещин в горных породах (распределения длин, апертур, ориентаций и т. Без-масштабность» распределений косвенно подтверждается механическими соображениями, согласно которым явления образования и роста трещин в твердом теле не зависят от какого-либо пространственного масштаба. В обзоре [] показано, что наблюдаемые сети трещин в широком диапазоне масштабов усреднения обладают фрактальными свойствами. Приведенные в [] гистограммы частоты появления фрактального индекса показывают, что для двумерных сечений трехмерных сетей трещин значения индекса могут пробегать все значения от 1 до 2. Наиболее часто встречающиеся значения близки к 1. Первое значение соответствует либо однородным сеткам трещин, либо перколяционным кластерам в двумерной геометрии. Значение из второго диапазона соответствует двумерным кластерам, являющимся проекцией трехмерных перколяционных кластеров []. Теория перколяции [-] является наиболее подходящим инструментом для исследования сетей трещин: благодаря фрактальной структуре пер-коляционных кластеров они являются хорошей моделью сети трещин. Важнейшим с точки зрения водопроницаемости свойством сети трещин в непроницаемых (или почти непроницаемых) породах является их связность, взаимные соединения. Даже густая сеть трещин может быть непроницаемой для влаги, если отдельные трещины не соединены между собой. В теории перколяции свойства проницаемости определяются порогом перколяции. Особый интерес в этой связи представляют состояния перколя-ционной среды вблизи порога перколяции. Во многих случаях, по крайней мере для трещин, возникших от разгрузки напряжений в блоках горных пород, есть основания считать, что эта сеть находятся в состоянии, близком к порогу (с проводящей стороны от порога). В механике разрушения предполагается, что разгрузка напряжений происходит в момент, когда сеть трещин, имеющаяся в сплошном блоке, достигает порога перколяции []. В трещиноватых породах, как правило, имеет место очень большой разброс локальной проницаемости в пределах системы трещин. Например, измерения, проведенные в гранит-урановом руднике Рапау-А1щеге$ (Франция) более чем в 0 точках в пределах 0 м, показали, что разброс локальной проницаемости в разных точках составляет 4 порядка величины []. При этом, несмотря на то, что вся сеть геометрически хорошо соединена, только 0. Аналогичный результат описан в []. Поэтому даже хорошо связная сеть при условии широкого распределения проницаемости отдельных трещин фактически оказывается вблизи порога перколяции []. В последнее время достигнут значительный прогресс в исследовании свойств поверхностей, ограничивающих реальные трещины.