Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений

• Автор: Мухаметова, Гульнара Зуфаровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 100 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Математическое моделирование фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений

1.1. Основные обозначения и сведения

1.2. Постановка задачи фильтрации диффузионных процессов

1.3. Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных
1.4. Одномерные линейные стохастические дифференциальные уравнения и их детерминированные аналоги
1.5. Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами
1.6. Явные формулы для решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом

1.7. Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных

1.8. Построение решений задачи фильтрации диффузионных процессов с использованием решений систем дифференциальных уравнений в частных производных
Глава 2. Разработка математического аппарата для решения задачи фильтрации диффузионных процессов
2.1. Некоторые сведения о симметричных интегралах
2.2. Симметричные интегралы и замена переменных
2.3. Замена переменных в расширенных симметричных интегралах
2.4. Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации
Заключение
Литература


Быоси [] в х годах XX века бурно развивалась теория фильтрации для систем, динамика которых описывается уравнениями Ито. Значительные результаты этой теории были получены Р. Ш.Линшером и А. Н.Ширяевым. Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Для условно-гауссовских процессов (0,? Тем самым выделен очень широкий класс случайных процессов, для которых удается эффективным образом решить задачу построения оптимального нелинейного фильтра. Помимо фильтрации, в [] изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции. Даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов. Подробно рассмотрены задачи линейного оценивания, даются применения к некоторым задачам управления, теории информации. Даны применения к небайесовским задачам статистики (оценки максимального правдоподобия для коэффициентов линейной регрессии, последовательное оценивание и последовательное различение статистических гипотез). Широкое распространение в приложениях получил метод фильтрации, применимый к процессам, которые описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, так называемый метод Калмана-Быоси (см. Известно (см. Ито, эквивалентно решению некоторого уравнения, называемого обычно уравнением фильтрации. Это уравнение фильтрации относится к совершенно новому типу, оно сочетает в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Уравнения такого типа называют стохастическими дифференциальными уравнениями Ито в частных производных. Как выяснилось, теория фильтрации не обладает монополией на использование уравнений такого типа. Наиболее подробно в настоящее время исследованы линейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, которые изучены в монографии Б. Л.Розовского []. Общин метод решения таких уравнений был предложен Ф. С.Насыровым []. Данный метод основан на теории потраекторных симметричных интегралов [], которые в случае винеровского процесса являются детерминированными аналогами стохастических интегралов Стратоновича. Ф.С. Насырову с помощью техники симметричных интегралов удалось при определенных условиях свести решение стохастического дифференциального уравнения Ито в частных производных к решению некоторой системы (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных. Ранее в теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений случаи, когда известна явная формула для определения (сильного) решения стохастического дифференциального уравнения, были немногочисленны (см. В настоящей работе для решения задачи фильтрации диффузионных процессов применяется новая техника симметричных интегралов по произвольной непрерывной функции, которые, с одной стороны, являются ослабленными вариантами интегралов типа Стилтьеса, а с другой стороны, в случае винеровского процесса, совпадают со стохастическими интегралами Стратоновича. Цель и задачи исследований. Целью настоящей работы является построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В работе решались следующие задачи. Построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и вывод явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае. Получение некоторых способов замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности. Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе диссертации в п. В п. В п. В п. Основной результат работы приведен в п. Во второй главе разрабатывается математический аппарат, используемый для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В п. В п. В п.