Математическое моделирование распространения нелинейных волн на поверхности воды

• Автор: Шерменева, Мария Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Периодическое решение уравнений Буссинеска

над наклонным дном

1.1 Введение

1.2 Математическая формулировка теории нелинейных волн

на поверхности воды

1.3 Уравнения Буссинеска для средней скорости и смещения

1.4 Переход к одному уравнению

1.5 Периодическая задача

1.6 Вычисление объема затекающей жидкости

1.7 Примеры
1.8 Дисперсионные характеристики
1.9 Заключение
Рисунки к главе 1
Глава 2. Одномерное движение стоячих волн над наклонным дном
2.1 Введение
2.2 Уравнение Буссинеска для потенциала скорости
2.3 Периодическое решение
2.4 Исследование дисперсионных характеристик
2.5 Применение решений к вычислению наката
2.6 Заключение
Рисунки к главе 2
Глава 3. Нестационарная нелинейная модель взаимодействия гравитационных поверхностных волн с внутренней волной
3.1 Введение
3.2 Математическая модель
3.3 Преобразование основных уравнений
3.4 Решение первого порядка
3.5 Типы решений
3.6 Комплексные собственные скорости волн, излученных неоднородным течением
3.7 Примеры эволюции волн
3.7.1 Действительные собственные скорости
3.7.2 Комплексные собственные скорости
3.8 Заключение
Рисунки к главе 3
Глава 4. Поверхностные волны над донным препятствием эллипсоидальной формы
4.1 Введение
4.2 Математическая модель
4.3 Лучевые решения и их каустики
4.4 Угол острия волновой каустики для отмели с медленно изменяющейся глубиной
4.5 Примеры
4.6 Заключение
Рисунки к главе 4
Заключение
Литература


Детальное исследование наката дисперсионных обрушивающихся волн было сделано Масселом и Пелиновским [Massel and Pelinovsky, ]. Рассматривался достаточно сложный профиль дна, в одной из областей которого глубина представляет собой линейную функцию удаленности от берега, в другой глубина - произвольная функция дна. Правее и левее этих областей дно горизонтально. В области, близкой к берегу, применены уравнения мелкой воды, на глубокой воде применяется так называемое уравнение пологого откоса (mild slope equation), впервые введенные в употребление Беркоффом [Berkhoff, ]. Рассмотрены конкретные примеры и произведено сравнение с экспериментом. Еще одна характеристика меры затопления суши - это максимальная высота волны на так называемом урезе (урезом называется линия раздела воды и берега). Пелиновским показано, что в рамках линейной теории эта величина равна накату. В настоящей работе мы применяем к вычислению наката уравнения гидродинамики в приближении Буссинеска, часто называемые просто уравнениями Буссинеска. Это целый класс уравнений, которые получаются из системы основных уравнений гидродинамики, описывающих волны на поверхности воды. Ключевым моментом их вывода является разложение потенциала скорости по степеням вертикальной координаты. Такое разложение было впервые проделано Лагранжем [Grange, ], развито Буссинеском [Boussinesq, ], и получило современный вид в работах Фридрихса [Friedrichs, ]. Различия между разными уравнениями этого класса определяются выбором неизвестной функции, а также порядком разложения. Выводу и исследованию различных модификаций этих уравнений в настоящее время посвящено множество работ. С уравнениями Буссинеска связано два малых параметра: это нелинейность е, равная отношению амплитуды к глубине, и дисперсия //, равная отношению глубины к длине волны. Обычно предполагают е = 0(ц2). Буссинеск рассмотрел случай горизонтального дна, предполагая, что вертикальная скорость линейно меняется от нуля на дне до максимума на свободной поверхности. Мей и Мехоте [Mei and Le M'ehaut’e, ] рассмотрели одномерный случай неровного дна. Перегрином [Peregrine, ] получены называемые теперь “классическими” уравнения Буссинеска в двумерном случае для неровного дна. Автор представил две версии уравнений: одно из них выражено через функцию скорости на невозмущенной поверхности жидкости, другое - через усредненную по глубине скорость. Следует отметить, что уравнений Буссинеска много и они отличаются по внешнему виду из-за того, что, во-первых, произволен выбор базовой функции, а во-вторых, члены высокого порядка точности неоднозначны. Главный недостаток этих уравнений - сингулярность в дисперсионном соотношении. Улучшению дисперсионных характеристик посвящено множество работ. Эффективность аппроксимации Паде была впервые показана Виттингом [Witting, ]. В году Мадсен и др. Стокса. Паде [2,2]. Аналогичное дисперсионное соотношение было получено Нвогу [Nwogu, ] посредством другого подхода: он предложил функцию потенциала скорости (ра на произвольном уровне za в качестве базовой. Свободный коэффициент а был выбран так {а = -0. Мадсен и Шаффер [Madsen and Schaffer, ] скомбинировали два этих подхода и получили дисперсионные характеристики, соответствующие разложению Паде [4,4]. В году Серре [Serre, ] представил альтернативные классическим уравнения Буссинеска. Он предположил, что горизонтальная скорость не зависит от z, в то время как вертикальная скорость зависит от z линейно. Работа была мало кем замечена за пределами Франции и почти идентичные уравнения были представлены Су и Гарднером [Su and Gardner, ]. Уравнения Буссинеска высокого порядка по нелинейности и дисперсии были впервые получены Динжеманом [Dingemans, ]. Он рассмотрел одномерный случай, предполагая, что ? Уравнения содержали члены порядков 0(ji ) и 0(ецА). Анализа уравнений или численных результатов предложено не было. Детальное исследование уравнений Буссинеска высокого порядка было сделано Мадсеном и Шаффером [Madsen and Schaffer, ]. Ими рассмотрено несколько версий двумерных уравнений.